1、1自然数的 n 次方的求和公式1、1+2+3+4+5+（n-1） +n= ; 2)1(ni12)(证明： 由 )1(2n(1)当 n=1 时， (2)当 n=2 时， 1232(3)当 n=3 时， 42(4)当 n=4 时， 152 (n)当 n=n 时， 12)1(2nn相加，得 nn)321()(2 )1(1)31 n所以 1+2+3+4+5+（n-1） +n= 2)(22、1 2+22+32+n2= ; 6)1(nni126)1(n证明：由 3)(23(1)当 n=1 时， 11223(2)当 n=2 时， 23(3)当 n=3 时， 1342(4)当 n=4 时， 4523 (n)当
2、 n=n 时， 13)1(23nn相加，得 nnn )321()321()( 23 n )212 = 232)1(31323 nn所以 12+22+32+n2= 6)(n43、1 3+23+33+n3= ; 2)1(nni132)1(证明：由 46)(234(1)当 n=1 时， 112234 (2)当 n=2 时， 463234(3)当 n=3 时， 13234 (4)当 n=4 时， 465234 (n)当 n=n 时， 146)1(234nn相加，得 nnn)321(4 )321(6)32() 234 )321(4)321(646 22343 nnn = 2)(46)(234 n2234
3、)1(nn5所以 13+23+33+n3=2)1(n4、1 4+24+34+n4= 30)1)(21(2nn)(214ni证明：由 15015)1( 2345 nn(1)当 n=1 时， 22345 (2)当 n=2 时， 151032345 (3)当 n=3 时， 342345 (4)当 n=4 时， 145102345 6 (n)当 n=n 时， 15015)1( 2345 nnn相加，得 nnn 51051)( 23456)13)(21( )32(50 )3(0)2 332345nnn 所以 14+24+34+n4= 30)1)(2n5、1 5+25+35+n5= 30)1)(21(2nn证明：由 16556)( 2346 nn(1)当 n=1 时， 101223456 7(2)当 n=2 时， 126152015263346 (3)当 n=3 时， 34346(4)当 n=4 时， 1461520155 2346 (n)当 n=n 时， 16520156)1( 2346 nnn相加，得 nnnn 615205161)( 2346 2)1n()1n2)4)(16(5n20 30)1n)(1n2(5)0)( )21()3162232 22433 44456 n 所以 15+25+35+n5= 1)()2n
