1、 授 课 教 案课程名称： 高等数学 授课专业： 总 学 时： 开课单位： 制 定 人： 审 核 人： 制定时间： 教 案授课学时 2 学时 课型 新授课教学内容（章节） 第五章 定积分 第 1 节 不定积分的概念与性质（1）教学目标 掌握定积分的概念教学重、难点 掌握定积分的概念教学方法及手段 讲练结合法/ 板书教学教学准备 教材，辅助教材教学过程：一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积设 ()yfx在区间 ,ab上非负、连续。由直线 ,0xaby及曲线所围成的图形称为曲边梯形.由于曲边梯形的高是变动的,所以不能直接用矩形的面积公式进行计算.而如下考虑:将区间 ,划分为很多小区间,在每个小区
2、间上用其中某一点处的高来近似的代替同一个小区间上的窄曲边梯形的变高,那么,每个窄曲边梯形就可以近似的看成这样得到的窄矩形,而将这些所有窄矩形的面积之和作为曲边梯形面积的近似值,并把区间 ,ab无限细分下去,使得每个区间的长度都趋于零,则这时所有窄矩形的面积之和的极限值就可定义为曲边梯形的面积.现将计算方法详述如下:在 ,ab中任意插入若干个分点0121nxxb，把区间 ,ab分成 n 个小区间，其长度依次为:01x, 12x , 1nnx .在每个小区间上 ,i任取一点 i,以 ,i为底,为 ()if高的窄矩形近似地替代第 i 个窄曲边梯形,这样得到的 n 个窄矩形地面积之和作为所求曲边梯形面
3、积 A 的近似值,即 1()niifx并记 2max,n ,则 0当时,取上述和式的极限,便得曲边梯形的面积 01()liniiifxA2. 变速直线运动的路程 01()niiivtS备注：1、 变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度 )(tv是时间间隔 21,T上 t的连续函数，且 0)(tv，计算在这段时间内物体所经过的路程 s在 21,T内任意插入若干个分点 212101 Ttttt nii 把 21,分成 n个小段 10,t， 2,t， it,1， nt,1各小段时间长依次为 , 111201 nnii ttttttt 相应各段的路程为 niss,21在 it,1上任取一个时刻
4、 )(1iitt，以 i时的速度 )(iv来代替it,上各个时刻的速度，则得 iitvs)(),2,(ni进一步得到 ntvtts )()()(21=niitv1设 0,max21当ntt 时，得iitvs10)(l二、定积分定义定义 1 设函数 )(xf在 ba,上有界，在 ba,中任意插入若干个分点0121nax，把区间 ,分成 n 个小区间，其长度依次为:,1210 nxx各个小区间的长度依次为 11201, nnxx.在每个小区间 iix,1上任取一点 iii(),对应函数值为 )(if作小区间长度 i与 )(if的乘积 ),)xfii 并作出和niiifS1(.记 ,max21nx,
5、如果不论对 ,ba怎样分法 ,也不论在小区间ii,1上点 i怎样取法,只要当 时，和式 S 总趋于确定的极限 I,这时我们称这个极限 I为函数 )(xf在区间 ,上的定积分( 简称积分), 记作 badxf)(,即badxf)(= I= niiixf10)(lm,其中 )(xf叫做被积函数, f叫做被积表达式, 叫做积分变量, a叫做积分下限, b叫做积分上限, ,ba叫做积分区间.注 (1)积分区间有限，被积函数有界；(2)与“分法” 、 “取法”无关；(3)定积分的值与积分变量的选取无关 babadtfxf)()(;(4) )(xf在 a,有界是 在 ,可积的必要条件， )(xf在 ba,
6、连续是 在 b可积的充分条件。接下来的问题是：函数 )(xf在 ba,上满足怎样的条件， )(xf在 ba,上一定可积？以下给出两个充分条件。注意：积分与积分变量无关，即： bababaduftfdxf )()()(函数可积的两个充分条件：定理 1 设 )(f在 ,上连续，则 )(xf在 ,b上可积。定理 2 设 )(xf在区间 ba,上有界，且只有有限个间断点，则 )(xf在ba,上可积。如果我们对面积赋以正负号，在 x轴上方的图形面积赋以正号，在 轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分 badxf)(的几何意义为：它是介于 x轴、函数曲线 y)(f的图形及两条直线 = 、 = b
7、之间的各部分面积的代数和。练习设计 课后习题 9教学反思 与学生一起做练习，边讲边练 注：1每 2 学时至少制定一个教案。2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。3上新课和新上课的教师要求写详案。4要求教师上课必带教案。5 “备注”填写历年更新的内容（手写） 。6教案可带附件（课程内容补充材料） 。教 案授课学时 2 学时 课型 新授课教学内容（章节） 第五章 定积分 第 1 节 不定积分的概念与性质（2）教学目标 掌握定积分的概念教学重、难点 掌握定积分的概念教学方法及手段 讲练结合法/板书教学教学准备 教材，辅助教材教学过程：三、定积分的性质为了以后计算及应用方便起见,首先,我
8、们作如下补充规定:1. 当 ba时, adxf)(=0;2. 当 时, =-abxf)(由上式可知,交换定积分上、下限时,绝对值不变而符号相反.假设下列性质中所列出的定积分都时存在的.性质 1 badxgf)(= baf)(badxg)(证明 baf = ni iiixf10)(lm= niiif10)( niiig10)(l= badxfbaxg性质 2 badxkf)(= baxf)(k是常数)性质 3 设 c,则baf)(= cadf)(+bcxf)(这个性质表明定积分对积分区间具有可加性,而且不论 bca,的相对位置如何,此等式总是成立的.性质 4 如果在区间 ba,上 , 1)(xf
9、,则d= a= 备注：性质 5 如果在区间 ba,上 , 0)(xf,则)(0)(dxfba推论 1 如果在区间 ,上 , )(xgf,则badxf)(ba )ba 推论 2 baf )(性质 6(估值定理) 设 M 及 m 分别是函数 xf在区间 ,上的最大值及最小值,则 )()()( abMdfabb)(b据此性质,利用被积函数在积分区间上的最大值及最小值,可以估计积分值的大致范围.性质 7(积分中值定理) 如果函数 )(xf在闭区间 ,上连续,则在积分区间ba,上至少存在一个点 ,使下式成立: )()(abfdxfba)(b这个公式叫做积分中值公式.例 1 利用定积分几何意义，求定积分值
10、 120xd 解 上式表示介于 0x, , y, 之间面积所以 1204d例 2 证明 10213x证明 249x在 0, 上最大值为 49，最小值为 2 21x3 2102练习设计 课后习题 9教学反思 与学生一起做练习，边讲边练 注：1每 2 学时至少制定一个教案。2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。3上新课和新上课的教师要求写详案。4要求教师上课必带教案。5 “备注”填写历年更新的内容（手写） 。6教案可带附件（课程内容补充材料） 。教 案授课学时 2 学时 课型 新授课教学内容（章节） 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式教学目标 理解积分上限函数的定义及有关运算 掌
11、握牛顿_莱布尼兹公式教学重、难点 掌握牛顿_莱布尼兹公式教学方法及手段 讲练结合法/板书教学教学准备 教材，辅助教材教学过程：一、变速直线运动中位置函数于速度函数之间的关系由第一节知,物体在时间间隔 21,T内经过的路程可以用速度函数 )(tv在21T上的定积分21)(dtv来表达;另一方面,这段路程又可以通过位置函数 )(ts在区间 21,T上的增量)(12Ts来表达.由此可见,位 21dtv置函数 )(ts与速度函数 )(tv之间又如下的关系:21)(Tt= 12s而 )(ts= v,即位置函数 )(是速度函数 )(tv的原函数,所以上述关系式表示, 速度函数 在区间 21T上的定积分等于
12、 的原函数 )(ts在区间 21,T上的增量)(2sT上述问题在一定条件下具有普遍性二、积分上限的函数及其导数设函数 )(xf在区间 ba,上连续 ,并且设 x为 ba,上的一点 ,则称xdtf)(为积分上限 的函数 ,记为xatf)( )(bx此函数具有如下重要性质:定理 1 如果函数 )(f在区间 b,上连续,则积分上限的函数xadtf)(在 ba,上可导,并且其导数是)()(xftfdxa)ba定理 2(原函数存在定理) 如果函数 在区间 ,上连续,则函数 xatf)(就是 )(xf在 ba,上的一个原函数备注：xadtf)(就是 在 b,上的一个原函数三、牛顿莱布尼兹公式定理 3 如果
13、函数 )(xF是连续函数 )(xf在区间 ba,上的一个原函数，则)()(Fbdfba(1)证明 已知函数 xF是连续函数 xf的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数xadtf)(也是 )(xf的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数（第四章第一节），即 CxF)(2)在上式中令 ax，得 a.又由 )(x的定义式及上节定积分的补充规定知 0)(，因此， )(.以 代入(2)式中的 C，以 xadtf)(代入(2)式中的 ，可得 )()(Fxdtfxa，在上式中令 bx，就得到所要证明的公式(1).注 由积分性质知，(1)式对 b的情形同样成立.为方便起见，以后把)(aF记成
14、ba)(。公式(1)叫做牛顿(Newton)- 莱步尼兹(Leibniz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。例 1 计算定积分 。解 。例.2 计算 312dx解： =127arctn3例 3 12x解： lnll12d例.4 计算 ysin在 ,0上与 x轴所围成平面图形的面积。解： 2cosi00xdA例 5 求解 易知这是一个 0型的未定式，我们利用洛必达法则来计算。因此。练习设计 课后习题 6 教学反思 与学生一起做练习，边讲边练 注：1每 2 学时至少制定一个教案。2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。3上新课和新上课的教师要求写详案
15、。4要求教师上课必带教案。5 “备注”填写历年更新的内容（手写） 。6教案可带附件（课程内容补充材料） 。教 案授课学时 2 学时 课型 新授课教学内容（章节） 第五章 定积分 第 3 节 定积分的换元法与分部积分法（1）教学目标 掌握定积分的换元法教学重、难点 掌握定积分的换元法教学方法及手段 讲练结合法/板书教学教学准备 教材，辅助教材教学过程：一、定积分的换元法定理 假设函数 )(xf在区间 ba,上连续,函数 )(tx满足条件(1) a,(;(2) )t在 或者 ,上具有连续导数,且其值域 Rba,则有badxf)(= dttf)(此公式叫定积分的换元公式.注 (1)用 )(tx把原来
16、的变量 代换成新变量 t时,积分限也要换成相应于新变量 t的积分限; (2)求出 )(tf的一个原函数 )(t后,不必要再把 )(t变换成原来变量x的函数,而只要把新变量 t的上、下限分别代入 相减就可以了.例 1 计算 )0(02adxa解 设 tsin,则 tcos,且当 x时, ;当 时, 2t,于是有2002cstdadxa= 0)2cos1(dta= 202in1tt= 4例 2 计算 205sicoxd解 205in= )(cos205x备注：=206cosx= 61)(在例 2 中,如果我们不明显地写出新变量 t,那么定积分的上、下限就不要变更.例 3 计算 053sinidx.
17、解 053isinx=203cosi+23)cos(indx= 203)(iinxd- )(ii23=205si-25si= 5)(= 4如果忽略 xcos在 ,2上非正 ,而按xcosiniin2353计算,将导致错误.例 4 证明: (1)若函数函数 )(f在区间 a,上连续且为偶函数,则adx=2xf0)(2)若函数函数 )(f在区间 a,上连续且为奇函数,则adx=0.证 adxf)(= 0)(af+ f0)(对积分 作代换 tx,则得0)(af=- dfa0)(=-adtf0)(=axf0)(所以adxf)(= xf0)(+ af0)(=d(1)若 )(xf为偶函数,则 )f= (2
18、xf所以adf)(= af0)(所以adxf)(= axf0)(2(2)若 )(f为奇函数,则)xf=0所以adf)(=0利用本例,常可简化计算奇函数,偶函数在对称区间上的定积分.练习设计 课后习题 2 教学反思 与学生一起做练习，边讲边练 注：1每 2 学时至少制定一个教案。2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。3上新课和新上课的教师要求写详案。4要求教师上课必带教案。5 “备注”填写历年更新的内容（手写） 。6教案可带附件（课程内容补充材料） 。教 案授课学时 2 学时 课型 新授课教学内容（章节） 第五章 定积分 第 3 节 定积分的换元法与分部积分法（2）教学目标 掌握定
19、积分的换元法教学重、难点 掌握定积分的换元法教学方法及手段 讲练结合法/板书教学教学准备 教材，辅助教材教学过程：一、定积分的换元法定理 假设函数 )(xf在区间 ba,上连续,函数 )(tx满足条件(1) a,(;(2) )t在 或者 ,上具有连续导数,且其值域 Rba,则有badxf)(= dttf)(此公式叫定积分的换元公式.注 (1)用 )(tx把原来的变量 代换成新变量 t时,积分限也要换成相应于新变量 t的积分限; (2)求出 )(tf的一个原函数 )(t后,不必要再把 )(t变换成原来变量x的函数,而只要把新变量 t的上、下限分别代入 相减就可以了.例 1 设函数)(xf=2,0
20、1cosxex计算 41)2(df.解 令 tx,则 tx,且当 时, ;当 4时, 2t.于是 41(2)fxd=21()ft= 0cosx+ 20dte= 1tan20t= 21tan4e备注：例 2 22022 sin1cosinco dx dx 2sinarti020 例 3 dxdxx0042coscos22 inin x dxd20sin1si1例 4 20202)(-x法一 设 sin t1-23t)dsin(12dt coti)(022 法二 设 t2sinx原式 23!48dt 8204一、定积分的分部积分法根据不定积分的分部积分法,可得badxvu)(=bav)(-dxvu
21、)(或记作 ba= ba-此公式即定积分的分部积分公式.公式表明原函数已经积出的部分可以先用上、下限代入.例 1 计算 210arcsinxd.解 20i=210i-2dx= 2106.x= 31例 2 计算 0dxe.解 先用换元法,令 t,则 tdxt2,且当 时 t; 当 1时 .于是10dxe= 102t= 0tde= t- t= 10te= 2106.21x= 3例 2 计算 10dxe.解 先用换元法,令 t,则 tdxt2,且当 时 t; 当 1时 .于是10dxe= 102t= 0tde= t- t= 10te= 2)(e.例 3 设 xf在 ,连续证明： xudf() (u)-d00证明 右边 = xuf00xx f()d()d00xu(-)f0练习设计 课后习题 2 教学反思 与学生一起做练习，边讲边练 注：1每 2 学时至少制定一个教案。2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。3上新课和新上课的教师要求写详案。4要求教师上课必带教案。5 “备注”填写历年更新的内容（手写） 。6教案可带附件（课程内容补充材料） 。
