1、内 容 提 要数列极限可用 语言和 语言进行准确定义，本文主要讲述数NA列极限的各种性质及其不同求法，例如：唯一性、保号性、有界性、可加可乘性、保序性、迫敛性、极限定 义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Stoltz 公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收 缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求.最后还简要介绍了数列极限在现实生活中的应用，如几何中推算圆面积，求方程的数值解，研究市场经营的稳定性及购房按揭贷款分期偿还问题.通过这些应用使我们对数列极限有一个更系统立体的了解.关键词定 义；夹逼准 则；Stoltz 公式；数列极限：数列
2、极限的性 质；N求数列极限的各种方法；数列极限的实际应用目录第一章 数列极限的概念11.1 数列极限的概念11.2 常用定理公式2第二章 收敛数列的性质4 2.1 唯一性42.2 有界性42.3 保号性42.4 保序性52.5 迫敛性52.6 可加、可乘性6第三章 数列极限的求法73.1 极限定义求法73.2 极限运算法则求法83.3 夹逼准则求法103.4 单调有界求法113.5 函数极限法123.6 定积分定义求法133.7Stoltz 公式法143.8 集合算术平均收敛公式法153.9 级数法163.10 其他方法18第四章数列极限在现实生活中的应用204.1 几何计算计算面积204.2
3、 求方程的数值解214.3 市场经营中的稳定性问题224.3.1 零增长模型224.3.2 不变增长模型234.4 购房按揭贷款分期偿还24第五章 结论26参考文献27第一章 数列极限的概念在研究数列极限解法之前，首先我们要清楚数列极限的定义.这是对数列极限做进一步深入研究的先决基础.1.1 数列极限的定义及分类数列极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.如，我国古代数学家刘徽（公元 3 世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术.因一系列圆内接正多边形的面积 在 无限增大（nA）时，内接正多 边形无限接近于圆，同时 也无限接近于某一确nn定的数，此时这一数值可精确表达圆的面积.
4、在解决类似的实际问题中逐步的引出了数列极限.针对不同的数列极限我们对其定义将会有细微的不同，下面主要介绍两种定义： 定义， 定义.NA定义 1（ 语言）：设 是个数列，若存在常数 ，对于任意给定的naa正数 ，都存在一个正整数 ，使得当 时，都有 ，则称nNn是数列 的极限，或称 收敛于 ，记作 ，或annalimn.这时，也称 的极限存在.n定义 2（ 语言）：若 ,存在正整数 ，使得当 时，都有AN0ANn,则称 是数列 当 无限增大时的非正常极限，或称 发nana na散于 ，记作 或 ，这时，称 有非正常极limnnn限. 对于 的定义类似，就详作介绍了.为了后面数列极限的解法做,铺垫
5、，我们先介绍一些常用定理. 定理 1.2.1（数列极限的四则运算法则） 若 和 为收敛数列，则nanb也都是收敛数列，且有,nnnabablimlilim,.nnnab若再假设 及 ，则 也是收敛数列，且有 0nblinnab.limli/linna定理 1.2.2（单调有界定理） 在实数系中，有界的单调数列必有极限.定理 1.2.3（ Stoltz 公式） 设有数列 ， ，其中 严格增，且Anxynx（注意：不必 ）.如果limnxlimny（实数， ），1linax,则 1limli.nnyyx定理 1.2.3（ Stoltz 公式） 设 严格减，且 ， .若0nlim0nxli0ny（实
6、数， ），1linyax,则 .1limlinnyyaxx定理 1.2.4（几何算术平均收敛公式） 设 ，则limna（1（ ，12.linnaa（2（若 ，则 .0,.12li.nn定理 1.2.5（夹逼准则）设收敛数列 都以 为极限，数列 满,abanc足：存在正数 ，当 时，有0N0n，nac则数列 收敛，且 .nclimn定理 1.2.6（归结原则）设 在 内有定义. 存在的充要条f0;Ux 0limxf件是：对任何含于 且以 为极限的数列 ，极限 都0;x nlinnfx存在且相等.二二二 收敛数列的性质定理 1.2.1（唯一性）收敛数列的极限值是唯一的。 （若数列 收敛，则na它只
7、有一个极限。 ）证 设设 =a，又 设 =blimnlin由定义，对于 0， N1，N2 使得当 nN 1 恒有a n-a ；当 nN 2 恒有a n-b ；2取 N=max N1，N2，则当 nN 时有x n-a x n-b1即a-ba n-a+a n-b由 的任意性，a=b，故极限唯一定理 1.2.2（有界性）收敛的数列必有界。证 设 =a，由定义，取 =1，limn则 N，使得当 nN 时恒有a n-a1，即有 a-1a na+1.记 M=maxa 1， a n，a-1，a+1，则对一切自然数 n 皆有a nM ，故 an有界。推论：无界数列必定发散注意：有界数列是数列收敛的必要条件定理
8、 1.2.3（保号性）设 是以 a 为极限的收 敛数列，我们有n二1二 若 a0，则对任意的 ；a0，存在 N，使得当 nN 时，有an 。二2二 若 a0，则对任意的 ；a0，存在 N，使得当 nN 时，有an 。证 （1）取 =a-0，根据极限的定义，知存在 N，使得当 nN 时，有a- a na+ ，ana- （a-）=，nN（2）证明类似，略定理 1.2.4（保序性）设数列a n与b n收敛，若存在整数 N0,使得当nN 0时有 anb n，则 an bnlimli证 设 an=a， bn=b；li若 ab，则对 = （a-b）0，12正整数 N1，N2 使得当 nN 1 恒有a n-
9、a ；即有 ana- = （a+b）；12当 nN 2 恒有a n-b 即有 bnb+ = （a+b）；取 N=max N0, N1, N2,当 nN 时an （a+b）b n12与条件相矛盾定理 1.2.5（迫敛性）设三个数列a n，bn与 c n 满足（1）anc nb n （n=1,2,3）（2） an= bn=a,limli则 c n 必为收敛列，且其极限也 为 a。证 任 给 0，由 题设（2）可知，存在（共同的）N ，使得当 nN时，有a n-a b n-a由此知，当 nN 时，a- a n a+ b n由（1）得a- c na+ nN 。这说明 c n 是收敛列，且极限 为 a注
10、意：（1）若条件（1）换作 anc nb n(n=1,2,3)则结论任成立（2）本定理既给出了判别数列收敛的方法；又提供了一个计算数列极限的方法。定理 1.2.6（可加性、可乘性、可除性）设数列a nbn是收敛数列且an=A bn=B 则limli（1） （anbn）=AB（2） an bn=ABli（3） an/ bn=A/B 期中 B0注意：b n为常数 C 时有 （an C）=AC an C=cAlimlim第三章 数列极限的求法3.1 极限定义求法在用数列极限定义法求时，关键是找到正数 .我们前面第一节NTH2.4（几何算术平均收敛公式）的证明就可用数列极限来证明，我 们来看几个例子.
11、例 3.1.1 ，其中 .limna0解： .1n事实上，当 时，结论显然成立.现设 .记 ，则 . a1a1n0由 ,11nn得 . （5）na任给 ，由（5）式可见，当 时，就有 .即 .01N1na1na所以 .lim1na对于 的情况，因 ，由上述结论知 ，故 01a1limna.1lilim/nn综合得 时， .0ali1na例 3.1.2 定理 1.2.4（1）式证明.证明：由 ，则 ，存在 ，使当 时，有limn010N1nN,/2na则.11121. . .n Nnaaaa令 ，那么11.Nc.2 1. 2nacan由 ，知存在 ，使当 时，有 .lim0nc20N2nN2cn
12、再令 ,故当 时，由上述不等式知1ax.12 1.22nn所以 .12.limnnaa例 3.1.3 求 .7li!n解： .li0!n事实上， .77771!1281!6nnn即 .70!6!n对 ，存在 ，则当 时，便有71!NnN所以 .710!6!n， lim0!n注：上述例题中的 7 可用 替换，即 .cli0!nc3. 2 极限运算法则法我们知道如果每次求极限都用定义法的话，计算量会太大.若已知某些极限的大小，用定理 1.2.1 就可以简化数列极限的求法.例 3.2.1 求 ,其中 .110lim.mkknanabb0mkkab， ，解：分子分母同乘 ，所求极限式化为.110.li
13、mkmkkknananbb由 知，li0n，当 时，所求极限等于 ；当 时，由于 ，故此时kmabk0mkn所求极限等于 0.综上所述，得到110,.li .mmkkn akanbb例 3.2.2 ，其中 .li1na解: 若 ，则显然有 ；1lim2na若 ，则由 得1ali0n；lili/li101nnnaa若 ，则1a.1limli10nnaa3. 3 夹逼准则求法定理 1.2.5 又称迫敛性，它不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限的工具.例 3.3.1 求极限 .132lim4nn解：因为，22412121nnnn，所以.132304152121nnn 因 ，再由迫
14、敛性知lim21n.132li04nn例 3.3.2 求数列 的极限 .解： 记 ，这里 ，则1nnah01n,2nnh由上式得 ，从而有201nh, （2）21nahn数列 是收敛于 1 的，因 对任给的 ，取 ，则当21n021N时 有 .于是，不等式（2）的左右两边的极限皆为 1,N故由迫敛性得 .lim1n例 3.3.3 设 及 ，求 .1a*kNlikna解： .lim0kn事实上，先令 ，把 写作 ，其中 .我们有1a10.220111.nn na n由于 ，可见 是无穷 小.据等式 ，2lim01nnna1/kknna注意到 ，由方才所述的结果 是无穷小.最后的等式表明，1/ka
15、1/nka可表为 有限个（ 个）无穷小的乘积，所以也是无 穷小，即knk.lim0kna3.4 单调有界定理求法有的时候我们需要先判断一个数列是否收敛，再求其极限，此时该方法将会对我们有很大帮助，我们来看几个例子.例 3.4.1 求例 2.1.3 注解中的 .lim0!nc解： .lim0!nc事实上，令 .当 时，*!nxN， nc.1nnx因此 从某一项开始是 递减的数列，并且 显然有下界 0.因此，由单nx调有界原理知极限 存在，在等式 的等号两边令limnx1ncx，得到 ,所以 为无穷小.从而n0n. lim0!nc例 3.4.2 求极限 （ 个根号）.li3n解：设 ， 1na又由
16、 ，设 ，则 .1na133nna因 ，故 单调递增.3nn综上知 单增有上界，所以 收敛.n令 由 ，lim1na， ， 13na对两边求极限得 ，故 .3.5 函数极限法有些数列极限可先转化为函数极限求可能很方便，再利用归结原则即可求出数列极限.例 3.5.1 用函数极限法求例 2.1.1,即求 .limna解：先求 ，因 ,limxali1/ 0lili 1xxxaee再由归结原则知 .n例 3.5.2 用函数极限求例 2.3.2,即求 .lin解：先求 .因 ，lixlnlim0lii1xxee再由归结原则知 .m1n例 3.5.3 用函数极限求例 2.3.3,即设 及 ，求 .1a*
17、kNlimkna解：先求 .因 （由洛比达法则）likxa 1!lili.li0nlkk kxxx，再由归结原则知 .lim0kna3.6 定积分定义法通项中含有 的数列极限，由于 的特殊性，直接求非常困难，!n!n若转化成定积分来求就相对容易多了.例 3.6.1 求 .!limn解：令 ，则 .而!ny1llniy,+10001lililllmli1ln1nni xdxd 也即 ，所以 .limny1!lilinnye例 3.6.2 求极限 .2siisil.1n n解：因为22sini.sinisinsi.11n，sii.sin2sii.si12lmlmsini.sin11lisini.s
18、innn，012sinxd类似地sii.sinlm1n，222lisini.sinn 由夹逼准则知.2sinisin2lm.1注：在此式的求解中用到了放缩法和迫敛性.3.7 Stoltz 公式法Stoltz 公式， 在求某些极限 时非常方便，尤其是1limli.nnyyaxx当 时特别有效.1nkya例 3.7.1 同例 2.1.2，定理 1.2.4（1）式证明.证明：前面用 定义法证明，现用 Stoltz 公式 证明.N令 ，则由 Stoltz 公式得到12.,nnyax12121limnnnaa .lilinna例 3.7.2 求 .12.limkkn解： （Stoltz 公式）1112.
19、limlimkkknn （二项式定理）1121li.kkknnC .1k3.8 几何算术平均收敛公式法上面我们用 Stoltz 公式已得出定理 1.2.4,下面我们通过例子会发现很多 类型的数列极限可以用此方法来 简化其求法.*n，例 3.8.1 同例 2.1.1 一样求 ，其中 .limna0解：令 ,由定理 1.2.4（2）知123,.1na.lilin例 3.8.2 同例 2.3.2 一样求 .lin解：令 ,由定理 1.2.4（2）知1231na，.limlili1na例 3.8.3 同例 2.6.1 相似求 .li!n解：令 ,则11nna12312 14nna .!nn所以 ，12
20、1!nna也即 ，而由定理 1.2.4（2）知12!nn.12 1limlilimnnnnaae故 .12lili li1!nnn naee 例 3.8.4 求 .312.limnn解：令 ，则由定理 1.2.4（1）知,.a.312li lilimnnn a3.9 级数法若一个级数收敛，其通项趋于 0（ ）,我们可以应用级数的一n些性质来求数列极限，我们来看两个实例来领会其数学思想.例 3.9.1 用级数法求例 2.1.3 注 .lim0!nc解：考虑级数 ，由正项级数的比式判别法，因!nc，1li/li01!nnc故级数 收敛，从而 .!nclim!n例 3.9.2 用级数法求例 2.3.
21、3,即设 及 ，求 .1a*kNlimkna解：考虑正项级数 ，由正项级数的比式判别法，因kna，111lim/lik knna故正项级数 收敛，所以 .knalim0kn例 3.9.3 求极限 .22211li.n解： 因级数 收敛，由级数收敛的柯西准则知，对 ，存在21n0, 使得当 时 ， 0NN，2121nkk此即 ，2221.nn所以 .22211lim.0n n例 3.9.4 求极限 .2li.nnaa解：令 ，所以 .考虑级数 ，1x1x1nx因为 ，所以此级数收敛.1limlinna令 ，则 .再令 ， 1nsx1nsx1nfx.100xxnnftdtd所以 .21xf而 ,1
22、22asxfx所以 .1221lim.nn asxa3.10 其它方法除去上述求数列极限的方法外，针对不同的题型可能还有不同的方法，我们可以再看几个例子.例 3.10.1 求 .2limsn解：对于这个数列极限可用三角函数的周期性.22lislisnn n 22limlims1nn .2si1例 3.10.2 设 ,110nnaca， ，证明： 收敛，并求其极限.n解：对于这个极限可以先用中值定理来说明其收敛.首先用数学归纳法可以证明.0,12nac事实上, .假设 ，102ca则 .2210nnaccc令 ，则 .2xffx111nnnnafaffa ， （1）1c其中 介于 和 之间.由于
23、 ,再由（1）式知 为压缩数列，故n10na收敛.设 ,则 .limal2lc由于，21nnca所以 .2,0cllc解得 （舍去）， .1l 1l综上知 .imnac注：对于这个题可也以采用单调有界原理证明其极限的存在性.第四章 数列极限在现实生活中的应用4.1 几何应用-计算面积在论文开始时，我们已经简要介绍了利用极限求圆的面积，现在我们再来介绍如何求抛物线 与两直线 和 所围的面积.2xy0y1x先将区间 等分为 个小区间 ，以这些小0,1n1210,.,nn， ， ，区间为底边，分别以 为高，作 个小矩形.22.， ， ， ，这 个小矩形的面积之和是n22311nni iA 23316
24、ni .n这样我们就定义一个数列 ，对每个 而言，它都小于欲求的nAn“面积”，但是 这两者之 间的差别不会大于长为 1,宽为 的矩形面积，1即 ，所以，当 越来越大 时， 将越来越接近于欲求的“面积” ，因此，1nnn我们可以定义此面积为.1lim3nA这种定义面积并求面积的方法简单又朴素，它同时孕育出了数学分析的一个重要组成部分：积分学.4.2 求方程的数值解我们都知道， 是无理数.目前的问题是如何用有理数来逼近 ，2 2以达到事先指定的精确度？ 是二次方程 的正根，所以我们20x的问题可以说成是求方程的“数值解”.把问题提得更一般一些.设 是任意给定的，我 们来求 的近0aa似值.给定
25、的一个近似值 ，在两个正数 中，一定有一个大a0x0,ax于 另一个小于 ，除非 正好就是 .有理由指望 这两个数的算0术平均值 可能更加靠近 ，这 便得到了更好的近似.事102axxa实上.2210000112 2axxxaxa这表明：不论初值 如何，得出的第一次近似值 是过剩近似值.不妨0 1设初值 本身就是 过剩近似值，因此 .由此得出0x 00xa.0100122xaa这个不等式告诉我们：第一次近似值 到 的距离至多是初值 到1xa0x的距离的一半.a重复施行上述的步骤，便产生数列 ，其中01.,nx， ， ，*12nnaxNx，由，12010 .22nnnnxaxaxaxa可见 .对
26、于充分大的 ，数 与 的距离要多小有多小.lim让我们看看实际应用起来有多方便，设想我们需求 的近似值.取初值 （这是相当粗糙的近似值），反复迭代的结果是02x012345.,.5,.416.x， ，这已是相当精确的近似值.4.3 市场经营中的稳定性问题投资者的交易行为是影响市场稳定性的重要因素，以股票为例，为尽量避免出现羊群行为，减少非理性投资，我们需要对股票的内在价值（即未来收入现金流的现值）有较清晰的认识，从而决定是该购买还是该售出，作出理性选择.现在我们来针对不同的模型确定股票相应的内在价值.4.3.1 零增长模型假定股利增长率为 0,因其内在价值如下. （1）12 11t tiDDV
27、iii（ -内在价值， 股息(红利)， 贴现率），现由假定知 ，1212t nii，所以此时股票内在价值为211+t ttDDViii . （2）1limtt ii知道股票的内在价值后，可求出其净现值 ，即内在价值减去市NPV场价格，也即： .NVP当 ，该股票被低估，可买入；当 ，被高估，不益购买.0NVP 0NVP例：某公司在未来无限期支付每股股利为 8 元，现价 65 元，必要收益率 10%，评价该股票.解：利用（2）式结论可求得该股票的内在价值为：.80806511%DVNVPi，故该股票被低估，可以购买.4.3.2 不变增长模型假定股利永远按不变增长率 增长 ，即 g，10.1ttt
28、DD代入（1）式得此时内在价值为.（3）00 01111lim+ ttt ttt DgiigDgDV iiii 例：去年某公司支付每股股利 1.80 元.预计未来公司股票的股利按每年 5%增长，假设必要收益率为 11%，当每股股票价格为 40 元，评价该股票.解：利用（3）式的结论，由于 ，可知1.805%1.89D股票内在价值 ，故.3.V，1.504NP该股票被高估，建议出售.4.4 购房按揭贷款分期偿还消费贷款的还款（即按揭）大多为年金方式，故存在一些年金计算问题.下面主要对购房分期付款的基本计算问题做一些简单分析.设 表示总的房款金额， 表示首次付款比例， 表示年利率，Pki表示分期付
29、款（贷款）的总年数， 表示每月底的还款金额，则有如n R下的价值方程，121nkPa进一步有 . （4）12nnkiPR其中 .2.ni vavi上述是针对有限期限付清的情况，如果考虑永久期末年金：在每个付款期末付款 上货币单位，直至永远.若将该年金的现值记为 ，则1m ma有计算公式 . 121.limm mnavai代入（4）式即可.通过上述公式即可求出按不同还款方式每月底应还金额.第五章 结 论通过上述章节我们探讨了数列极限的求法并简要介绍了它在现实生活中的应用.我们知道极限是数学分析的基石，是微积分学的基础，可见数列极限是一种重要的极限类型.掌握数列极限的概念、性质和计算是学好函数极限
30、和微积分的前提和基础，灵活巧妙的应用它，也可以使一些较为困难的实际问题迎刃而解.通过前面的例子我们知道求数列极限的方法灵活多样，给一些数学问题的讨论和计算带来极大的方便.对它的研究也使数学分析在经济领域和数学领域中发挥更大的作用.这在数学分析关于函数极限和微积分学的研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值.所以，国内外学者对数列极限的求法及其在实际应用的研究一直未中断，同时仍存在很多内容等待我们新时期的学术爱好者去探讨,去解决，去突破.参考文献1. 数学分析题解精粹（第二版）/钱吉林等主编崇文书局，2009.2. 数学分析教程（上册）/常庚哲，史济怀编高等教育出版社，2003.3. 数学
31、分析（上册 第三版）/华东师范大学数学系编高等教育出版社，2007.4. 数学分析第一册/徐森林，薛春华编清华大学出版社，2005.5. 求数列极限的方法探讨/郑允利高等函数学报（自然科学版），2010 年 06 期.6. 两类数列极限的求法/陈 凌科技创新导报， 2010 年第 28 期.7. 谈谈极限的求法/林瀚斌 大众商务， 2009 年第 12 期.8. 高等数学中数列极限的几种求法/周林湖北广播电视大学学报， 2008 年第 11 期.9. 求数列极限的几种方法/李素峰邢台学院学报， 2007 年 02 期.10.数学分析的基本理论和典型方法/孙立山， 孙钦福编著中国科学技术出版社11.数学分析/周民强编著 上海科学技术出版社12.数学分析的思想方法朱匀华编著中山大学出版社
