1、6.2等差数列,高考数学,1.等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d,nN*.2.等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d,其前n项和Sn=或Sn=na1+ d.,知识清单,3.等差中项如果A=,那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的有关性质(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,mN*).(2)若an为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则ak+al=am+an.(3)若an,bn是等差数列,则pan+qbn是等差数列.(4)若an是公差为d的等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*
2、)组成公差为md的等差数列.(5)若Sm,S2m,S3m分别为an的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.,(6)若an是等差数列,则是等差数列,其首项与an首项相同,公差是an公差的.(7)非零等差数列奇数项与偶数项的性质若项数为2n,则S偶-S奇=nd,=;若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,=.(8)两个等差数列an、bn的前n项和Sn、Tn之间的关系为= .,拓展延伸1.由an=a1+(n-1)d得an=dn+(a1-d).若d=0,则an=a1是常数函数;若d0,则an是关于n的一次函数.可见(n,an)
3、是直线y=dx+(a1-d)上一群孤立的点.2.由Sn=na1+d得Sn=n2+n.令A=,B=a1-,则Sn=An2+Bn.当A0,即d0时,Sn是关于n的二次函数,(n,Sn)是抛物线y=Ax2+Bx上一群,孤立的点,利用二次函数的性质可求an的前n项和Sn的最大值或最小值.,利用等差数列的基本量a1,d解决等差数列问题1.在等差数列an中,将an用a1,d表示出来,Sn也用a1,d表示出来.2.解方程组求出a1,d的值.3.由a1,d求结论.例1(1)(2016江苏淮海中学模拟)在等差数列an中,已知a3=5,a2+a5=12,an=4a4+1,则n=.(2)(2017苏北四市期中)设S
4、n是等差数列an的前n项和,且a2=3,S4=16,则S9的值为.,方法技巧,解析(1)设数列an的公差为d.由已知得即所以a1=1,d=2.所以a4=a1+3d=7,an=a1+(n-1)d=2n-1,由an=2n-1=47+1=29得n=15.(2)设an的公差为d,由a2=3,S4=16得a1+d=3,4a1+6d=16a1=1,d=2,所以S9=91+982=81.,答案(1)15(2)81,等差数列的判定与证明1.证明一个数列an为等差数列的基本方法有两种:(1)定义法:证明an+1-an是常数(nN*);(2)等差中项法:证明an+2+an=2an+1(nN*).2.解填空题时,可
5、用通项公式或前n项和公式直接判断.(1)通项法:an是等差数列an=An+B(A,B是常数);(2)前n项和法:an是等差数列Sn=An2+Bn(A,B是常数).例2(2017苏北四市期中)在数列an中,已知a1=,an+1=an-,nN*,设Sn为an的前n项和.(1)求证:数列3nan是等差数列;(2)求Sn.,解析(1)证明:因为an+1=an-,所以3n+1an+1-3nan=-2,又因为a1=,所以31a1=1,所以3nan是首项为1,公差为-2的等差数列.(2)由(1)知3nan=1+(n-1)(-2)=3-2n,所以an=(3-2n),所以Sn=1+(-1)+(-3)+(3-2n
6、),所以Sn=1+(-1)+(5-2n)+(3-2n),两式相减得Sn=-2-(3-2n)=-2,+(2n-3)=2n,所以Sn=.,求等差数列前n项和的最大值与最小值的方法1.通项法:若a10,d0,则an递增,所有负项和最小.若存在an=0,则Sn=Sn-1最大(或最小).2.二次函数法:当Sn是关于n的二次函数时,由二次函数知识求最大(小)值,解题时要注意nN*.例3已知an是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.(1)求an的通项an;(2)求an的前n项和Sn的最大值.,解题导引(1)由a2,a5求a1及公差求an(2)求Sn求Sn的最大值,解析(1)设an的公差为d,由已知条件,得解得a1=3,d=-2,所以an=a1+(n-1)d=-2n+5.(2)Sn=na1+d=-n2+4n=4-(n-2)2,所以n=2时,Sn取得最大值4.,
