1、学案 4：数列通项公式的求法1 / 9学案 4：数列的通项公式求法姓名 班级 专题一：数列通项公式的求法一、 观察法 （关键是找出各项与项数 n 的关系.）例 1：根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999， （2） （3） （4）,176409,51,521,53,2二、 公式法 公式法 1：特殊数列例 2： 已知数列 an是公差为 d 的等差数列，数列b n是公比为 q 的(qR 且 q1)的等比数列，若函数 f (x) = (x1) 2，且 a1 = f (d1)，a 3 = f (d+1)，b 1 = f (q+1)，b 3 = f (q1)，(1)求
2、数列 a n 和 b n 的通项公式；例 3. 等差数列 是递减数列，且 =48， =12，则数列的通项公式是（ na432a432a） (A) (B) (C) (D) 12n n1n102n例 4. 已知等比数列 的首项 ，公比 ，设数列 的通项为 ，n10qb2na求数列 的通项公式.b公式法 2： 知 利用公式 .ns2,1nSsan例 5：已知下列两数列 的前 n 项和 的公式，求 的通项公式. na学案 4：数列通项公式的求法2 / 9三、 累加法 【型如 的递推关系】)(1nfan简析：已知 , ，其中 f(n)是关于 n 的一次、指数函数、分式函数，求通项a1.n若 f(n)是关
3、于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; 若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得 例 6、已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。a1123naa， na评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出12na12na，即得数列 的通项公式。1231()()()()nnnaa n例 7、已知数列 满足 ， ，求此数列的通项公式. 11n四、累积法 【 形如 = (n) 型】 当 f(n)为 n 分式的函数时,用累乘法. 1nafna例 8、在数列 中， =1, (n+1) =n ，求 的表达式.
4、 1a练习 1（2004 全国 15）已知数列 满足 ，求na11231()(2)n naaa，的通项公式。na学案 4：数列通项公式的求法3 / 9五、构造特殊数列法构造 1：【形如 ,其中 )型】 （1）若 c=1 时，数列 为等差数列; 0(,1cdanana（2）若 d=0 时，数列 为等比数列;（3）若 且 时，数列 为线性递推数列，c0dn其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法：设 ,得 ,与题设 比较系数得 ，)(1nnca)(1n ,1dcn1dc所以： ,即 构成以 为首项，以 c 为公比的等比数列.1ddcaa例 9：已知数列 的递推关系为 ，且 求通项 . n21n
5、n1n构造 2：相邻项的差为特殊数列例 10：在数列 中， ， ， ，求 .na12annna31构造 3：倒数为特殊数列【形如 】srapn1例 11： 已知数列 中 且 （ ） ， ，求数列的通项公式. na1 N构造 4： 与1nnaqnqpa1例 12：已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。2312na例 13：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112,6nnana学案 4：数列通项公式的求法4 / 9例 14：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na11323nnaa， na评注：符合 形式的数列，可以两边同时除以 ，然后构造新的数列求通项公式.nnqpa1 1nq六、
6、待定系数法：例 15：设数列 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若cc1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式 cn点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前 n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则 ， （b、为常数） ，若数列 为等比数列，则nacbnacsn2 na， .1Aq)1,0(qAsn七、迭代法 【一般是递推关系含有的项数较多】例 16：（1）数列 满足 ,且 ,求数列a n的通项公式.1 )1(212aan（2）数列 满足 ,且 ,求数列a n的通项公式 na1212an（3）已知数列 中， 求通项 . na,21,211nnan
7、a学案 4：数列通项公式的求法5 / 9学案 4：数列的通项公式求法专题一：数列通项公式的求法三、 观察法 （关键是找出各项与项数 n 的关系.）例 1：根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，（2） （3） （4）,1764,093,521 ,521,53,2答案：（1） （2） （3） （4）10na ;2na;1na.)(n四、 公式法 公式法 1：特殊数列例 2： 已知数列 an是公差为 d 的等差数列，数列b n是公比为 q 的(qR 且 q1)的等比数列，若函数 f (x) = (x1) 2，且 a1 = f (d1)，a 3 = f (d+1
8、)，b 1 = f (q+1)，b 3 = f (q1)，(1)求数列 a n 和 b n 的通项公式；答案：a n=a1+(n1)d = 2(n1)； b n=bqn1 =4(2) n1例 3. 等差数列 是递减数列，且 =48， =12，则数列的通项公式是（ D n 432432a） (A) (B) (C) (D) 2n an n 102n例 4. 已知等比数列 的首项 ，公比 ，设数列 的通项为 ，n110qnb2na求数列 的通项公式.b简析：由题意， ，又 是等比数列，公比为 ，故数321nnn qann213列 是等比数列，易得 .点评：当数列为等差或等比数列时，可直接n )1()
9、1(qqb利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比.公式法 2： 知 利用公式 .ns2,1nSsan例 5：已知下列两数列 的前 n 项和 sn的公式，求 的通项公式.（1） . na13nSn（2） 12n答案：（1） =3 ， （2） 点评：先分 n=1 和 两种情况，na32)2(0an 2然后验证能否统一.三、 累加法 【型如 的递推关系】)(1fn简析：已知 , ，其中 f(n)可以是关于 n 的一次、指数函数、分式函数，求1n通项 .na若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; 若 f(n)是关于 n 的指数函数，学案 4：数列通项公式的求法6
10、/ 9累加后可转化为等比数列求和;若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得 例 6、已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1123naa， na解：由 得 则 时123nn22321121()()()()33()(31nnna 时，上式也成立.所以 31.na评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出231na1231nna，即得数列 的通项公式。123()()()()nnna 例 7：已知数列 满足 ， ，求此数列的通项公式. 答案：a1)(1nnna4四、累积法 【 形如 = (n) 型】 当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法.1nfa例 8、在数列
11、 中， =1, (n+1) =n ，求 的表达式. 答案： a1nana1练习 1：（2004 全国 15）数列 满足 ，求n 231()(2)n，的通项公式。na解：因为 1231()()n n所以 aa 用式式得 则 ，因为 所以 故.n2,01a,n1()na所以 13222 !(1)43.nan 由 ， ，则 ，又知 ，1n na 12a取 得 1a1a则 ，代入得 。所以， 的通项公式为2 !45n n!.n评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求1()n1(2)na出 ，从而可得当 的表达式，最后再求出数列 的通项公1322naa 2na时 ， na式。学案 4：数列通
12、项公式的求法7 / 9五、构造特殊数列法构造 1：【形如 ,其中 )型】 （1）若 c=1 时，数列 为等差数列; 0(,1cdana1 na（2）若 d=0 时，数列 为等比数列;（3）若 且 时，数列 为线性递推数c0d列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法：设 ,得 ,与题设 比较系数得 ，)(1nnca)(1n ,1n,1cd所以： ,即 构成以 为首项，以 c 为公比的等比数列.1ddnn cdan1cda例 9：已知数列 的递推关系为 ，且 求通项 . 答案：a21 n12na构造 2：相邻项的差为特殊数列例 10：在数列 中， ， ， ，求 .n12annna312提示
13、：变为 . 答案：)(32na 147构造 3：倒数为特殊数列【形如 】srapn1例 11： 已知数列 中 且 （ ） ， ，求数列的通项公式. 答案 na1nNban1构造 4： nqp例 12：已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。a123na12na解： 两边同除以 ，得 ，则 ，故数列 是以123nn13n1322na为首项，以 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得 ，所以a (1)n数列 的通项公式为 。n()2nna评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，说明数列 是132nna132na2na等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 ，进而求出数列 的通项公式
14、。()nn例 13：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1123,6nna na解：上式两边同时除以 得 ，令 ，则设 ，即3b3)(321nnb，所以 ，故 ，因为 ，所以 是以 1 为1321nnb)(1nnb0学案 4：数列通项公式的求法8 / 9首项， 为公比的等比数列，所以 ， ，所以32132nnb132nbnna321评注：符合 形式的数列，可以两边同时除以 ，然后构造新的数列求通项公式.nnqpa1 q例 14：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。11naa， n解： 两边同除以 ，得 ，则 ，故12nna1 1233n113nn时1122213122()()()()3
15、32() 1)333nnnnnnn aa因此 ，则 时也1()2(1)2nn na213.2nna1成立.评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求131na11nna出 ，即得数列 的通项公式，11222()()()()333nnaaa 3最后再求数列 的通项公式。六、待定系数法：例 15：设数列 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若ncc1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式 cn解析：设 建立方程组，解得.1)(nbqda点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前 n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则 ， （b、为常数） ，若数列 为等比数列，则nnsn2 na， .1Aqa ),0(As七、迭代法 【一般是递推关系含有的项数较多】例 16：（1）数列 满足 ,且 ,求数列a n的通项公式.na1 )1(2121 aan解析：由题得 时， )(21n 2 )(21a由、得 .,0n（2）数列 满足 ,且 ,求数列a n的通项公式 答案1a212an2,)1(nan学案 4：数列通项公式的求法9 / 9（3）已知数列 中， 求通项 . 答案na,21,211nnana12n
