1、1,第 七 章 线 性 变 换,8 若当(Jordan)标准形介绍,7 不变子空间,6 线性变换的值域与核,5 对角矩阵,4 特征值与特征向量,3 线性变换的矩阵,2 线性变换的运算,1 线性变换的定义,2,1 线性变换的定义,线性变换的引入,线性变换的定义,线性变换的举例,线性变换的性质,3,一、线性变换的引入,数域 P 上任意一个 n 维线性空间都与 P n 同构，,因此，有限维线性空间的结构可认为已完全清楚.,线性空间V 到自身的映射通常称为 V 的一个变换.,本章要讨论的线性变换也是最简单的，,认为是最基本的一种变换.,下面如果不特别声明，所考虑的都是某一固定,的数域 P 上的线性空间
2、.,同时也可,正如线性函数是最简单的且最基本的函数一样.,4,二、线性变换的定义,定义 1 线性空间 V 的一个变换 A 称为线性,变换，,任意数 k ，都有,A ( + ) = A ( ) + A ( ) ,A ( k ) = k A ( ) .,如果对于 V 中任意的元素 , 和数域 P 中,5,以后我们一般用花体拉丁字母 A , B , 代表,V 的变换， A () 或 A 代表元素 在变换 A 下,的像.,定义中的等式所表示的性质，有时也说成线性,变换保持向量的加法与数量乘法.,下面我们来看几个简单的例子，它们表明线性,变换这个概念有着丰富的内容.,6,三、线性变换的举例,例 1 平面
3、上的向量构成实数域上的二维线性,空间.,就是一个线性变换，我们用 R 表示.,如果平面上,一个向量 在直角坐标系下的坐标是 ( x , y ), 那么,像 R ( ) 的坐标，即 旋转 角之后的坐标,( x , y ) 的公式为,把平面围绕坐标原点按反时针方向旋转 角,7,如图 7 - 1 所示.,同样，空间中绕轴的旋转也是一个线性变换.,8,例 2 设 是几何空间中一固定的非零向量，,把每个向量 变到它在 上的内射影的变换也是,一个线性变换，以 表示它.,这里 ( , ), ( , ),表示内积.,几何意,义如图 7 - 2 所示.,用公式表示就是,9,例 3 线性空间 V 中的恒等变换或称
4、单位,变换 E ，,A ( ) = ( V) ,以及零变换 0 ，即,0 ( ) = 0 ( V),都是线性变换.,即,10,例 4 设 V 是数域 P 上的线性空间，k 是 P 中,某个数，定义 V 的变换如下：, k , V .,不难证明，这是一个线性变换，称为由数 k 决定的,数乘变换, 可用 K 表示.,显然，当 k = 1 时，我,们便得恒等变换，当 k = 0 时，便得零变换.,11,数组成实数域上一线性空间，以 C( a , b ) 代表.,例 5 在线性空间 P x 或者 P x n 中，求导,数是一个线性变换.,这个变换通常用 D 代表，即,D ( f (x) ) = f (
5、x) .,例 6 定义在闭区间 a , b 上的全体连续函,在,这个空间中，变换,( f (x) ) =,是一线性变换.,12,例 7 镜象变换：R2 中每个向量关于过原点,的直线 L 相对称的变换，记为T ，即,T( ) = = OB,(如图 7 - 3 所示，其中 A、B对称于直线 L) 也是 R2,上的线性变换.,13,下面先来求镜象变换 T , 然后再证明它是线,性变换.,设直线 L 的某个方向的单位向量为 (如图7-3,所示)，则,与 的内积，于是,= - + 2 ( , ) .,14,T( ) = = OB,所以,= - + 2 ( , ) .,下面验证 T,是线性变换., , R
6、2 和 , , R , 都有,T( + ),= - ( + )+ 2( + , ),= - + 2 ( , ) + - + 2 ( , ) ,= T( ) + T ( ),所以 T 是线性变换.,15,四、线性变换的性质,线性变换有以下三个简单性质：,性质 1 设 A 是 V 的线性变换，则,A ( 0 ) = 0，,A ( - ) = - A ( ) .,证明,由线性变换的定义，可得,A ( 0 ),= A ( 0 ),= 0 A ( ),= 0 ，,A ( - ),= A ( ( - 1 ) ),= ( -1 ) A ( ),= - A ( ) .,16,性质 2 线性变换保持线性组合与线
7、性关系式不变.,换句话说，如果 是 1 , 2 , , r 的线性组合：, = k11 + k22 + + krr ,那么经过线性变换 A 之后，,A ( ) 是 A ( 1 ),A ( 2 ) , , A ( r ) 同样的线性组合：,又如果 1 , 2 , , r 之间有关系式,k11 + k22 + + krr = 0 ，,A ( ) = k1A ( 1 ) + k2A ( 2 ) + + krA ( r ) .,17,那么它们的像之间也有同样的关系,以上两点，根据定义可以证明，由此即得,性质 3 线性变换把线性相关的向量组变成,线性相关的向量组.,但应该注意，,可能把线性无关的向量组也
8、变成线性相关的向量,组.,例如零变换就是这样.,k1A ( 1 ) + k2A ( 2 ) + + krA ( r ) = 0 .,性质 3 的逆是不对的，,线性变换,18,线性变换的乘积,2 线性变换的运算,线性变换的加法,线性变换的数量乘法,线性变换的逆变换,线性变换的多项式,举例,19,(A B ) ( ) = A (B ( ) ) ( V ).,一、线性变换的乘积,线性空间的线性变换作为映射的特殊情形当然,可以定义乘法.,1. 定义,定义2 设 A , B 是线性空间 V 的两个线性变,换，定义它们的乘积 A B 为,20,2. 性质,性质 1 线性变换的乘积是线性变换.,(A B )
9、 ( ),证明,设 A , B 是线性空间 V 的两个线性变换.,因为,= A (B ( ) ),= A (B ( ) B ( ) ),= (A B ) ( ) + (A B ) ( ) ，,(A ) ( k ) = A (B ( k ) ),= A ( k B ( ) ),= k A (B ( ) ),= k (A B ) ( ) .,所以 A B 是线性变换.,21,D ( f ( x ) ) = f ( x ) ,的乘积 DI =E ，但一般 I D E .,对于乘法，单位变换 E 有特殊的地位.,对于,任意线性变换 A 都有,I,A E = E A = A .,(A B )C = A
10、(BC ) .,性质 2 结合律,注意：线性变换的乘法一般不满足交换律.,例，实数域 R 上的线性空间 C1 x ，线性变换,22,二、线性变换的加法,1. 定义,定义3 设 A , B 是线性空间 V 的两个线性变,换，定义它们的和 A + B 为,(A + B ) ( ) = A ( ) + B ( ) ( V ) .,2. 性质,性质 1 线性变换的和是线性变换.,23,证明,设 A , B 是线性空间 V 的两个线性变换.,因为,(A + B ) ( + ),= A ( + ) + B ( + ),= (A ( ) + A ( ) ) + (B () + B ( ),= (A ( )
11、+ B ( ) ) + (A () + B ( ),= (A + B ) ( ) + (A + B ) ( ) ,(A + B ) ( k ),= A ( k ) + B ( k ),= k A ( ) + k B ( ),= k(A + B ) ( ) .,证毕,24,性质 2 零变换与所有线性变换 A 的和仍等于 A ：,负变换：线性变换 A 的负变换定义为：,( - A ) ( ) = - A ( ) ( V ).,A + 0 = A .,25,3. 运算规律,1) 交换律,A + B = B + A .,2) 结合律,3) A +( - A ) = 0 .,4) 乘法对加法的左右分配律
12、,A + (B + C ) =(A + B ) + C .,A (B + C ) =A B + A C , (B + C ) A =B A + C A .,26,仅证线性变换的乘法对加法的左分配律,证明,(A (B + C ) ) ( ),= A ( (B + C ) ( ) ),= A (B ( ) + C ( ) ),证毕,A (B + C ) =A B + A C .,= A (B ( ) ) + A (C ( ) ),= (A B ) ( ) + (A C ) ( ),= (A B + A C ) ( ) .,27,三、线性变换的数量乘法,1. 定义,在上一节,中我们看到, 数域 P
13、中每个数 k 都,确定了一个数乘变换 K .,利用线性变换的乘法 ,可以定义数域 P 中的数与线性变换的数量乘法：,定义4 数域 P 中的数与线性变换的数量乘法,定义为,k A = K A ,即,(k A ) ( ) = K (A ( ) ) = K A ( ) .,显然，k A 是一个线性变换.,28,2. 运算规律,1) ( kl ) A = k ( l A ) ,2) ( k + l ) A = k A + l A ,3) k (A + B ) = k A + k B ,4) 1 A = A .,29,对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与,数量乘法三种运算.,由加法与数量乘法的性质可
14、知,线性空间 V 中全体线性变换，对于如上定义的加法,与数量乘法，也构成数域 P 上一个线性空间.,对于线性变换，我们也可定义逆变换.,30,四、线性变换的逆变换,1. 定义,定义5 线性空间 V 的线性变换 A 称为可逆的,如果有 V 的变换 B 存在，使,这时，变换 B 称为 A 的逆变换，记为 A -1 .,A B = B A = E .,31,2. 性质,如果线性变换 A 是可逆的，那么它的逆变换,A -1 也是线性变换.,证明,因为,A -1( ) = A -1(A A -1) ( ) + (A A -1) ( ),= A -1A ( A -1( ) ) + A ( A -1 ( )
15、 ) ,= ( A -1A ) ( A -1( ) + A -1 ( ) ),= A -1( ) + A -1 ( ) .,32,A -1( k ) = A -1( k (A A -1) ( ) ),= A -1( k (A ( A -1) ( ) ) ),= A -1(A ( k A -1 ( ) ) ),= ( A -1A ) ( k A -1 ( ) ),= k A -1 ( ) .,所以 A -1 是线性变换.,证毕,33,五、线性变换的多项式,1. 线性变换的幂,下面引进线性变换的多项式概念.,既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线,性变换 A 重复相乘时，其最终结果是完全确定的,
16、与乘积的结合方式无关.,因此当 n 个( n 是正整数),线性变换 A 相乘时，我们就可以用,来表示，称为 A 的 n 次幂.,34,简单地记作 A n.,即,另外，规定 A 0 = E .,线性变换的幂运算规律,A n + m = A n A m , (A n )m = A m n (m , n 0) .,当线性变换 A 可逆时，定义 A 的负整数幂为,A - n = ( A -1 ) n ( n 为正整数 ) .,这时，指数法则可以推广到负整数幂的情形.,35,注意,线性变换乘积的指数法则不成立，,即， 一般来说,(A B )n A n B n .,2. 线性变换的多项式,定义6 设 f
17、(x) = amxm + am -1xm -1 + + a0 是,P x 中一多项式，A 是 V 的一线性变换，则称,f (A ) = am A m + am -1 A m -1 + + a0,是线性变换 A 的多项式.,36,线性变换的多项式有以下性质：,1) f (A ) 是一线性变换.,2) 如果在 P x 中，有,h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) ,那么,h(A ) = f (A ) + g(A ) , p(A ) = f (A ) g(A ) .,特别地，,f (A ) g(A ) = g(A ) f (A ) .,37,六、举例,例 1
18、 在三维几何空间中，对于某一向量 ,的内射影 A (投影) 是一线性变换(参看图 7-6 ).,A 可以用下面的公式来表示,这里 ( , ), ( , ),表示内积.,38, 在以 为法向量的平面 x 上的内射影 A x ( ),可以用公式,A x ( ) = - A ( ),来表示 (如图 7-7 ).,因此,A x = E - A , 对于平面 x 的反射,R x也是一个线性变换，且,R x ( ) = - 2 A ( ),所以 R x = E - 2 A .,39,例 2 在线性空间 Pn x 中，求导数是一个线,性变换，用 D 表示,显然有,D n = 0 .,其次，变数的平移,f (
19、 ) f ( + a ) ( a P ),也是一个线性变换，用 Sa 表示.,根据泰勒展开式,40,可知 Sa 实质上是 D 的多项式：,41,线性变换、基与基的像,3 线性变换的矩阵,线性变换的矩阵,向量像的计算公式,线性变换在不同基下矩阵的关系,相似矩阵,42,一、线性变换、基与基的像,设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，1 , 2 , , n,是 V 的一组基，,首先来讨论线性变换、基与基的像之间的关系.,空间 V 中任一向量 可以由基 1 , 2 , , n 线,性表出，即, = x11 + x22 + + xnn (1),下面建立线性变换与矩阵的关系.,其中系数是唯一确定的.,4
20、3,由于线性变换保持线性关系不变，,A 与基的像 A 1 , A 2 , , A n 之间也必然,有相同的关系：,A = A (x11 + x22 + + xnn ),= x1 A (1 ) + x2 A (2 ) + + xn A (n ) (2),如果我们知道了基 1 , 2 , , n 的像，,则线性空间中任意一个向量 的像也就知道了.,(x1, x2, , xn) 是 在这组基下的坐标.,因而在 的像,上式表明，,44,或者说,1. 设 1 , 2 , , n 是线性空间 V 的一组基.,如果,线性变换 A 与 B 在这组基上的作用相同，即,A i = B i , i = 1, 2,
21、, n ,那么 A = B .,即：一线性变换完全由它在一组基上的作用决定.,下面指出，,向量，即可确定线性变换.,当给定空间V 的一组基及任意给定一组,45,2. 设 1 , 2 , , n 是线性空间 V 的一组基.,对,任意一组向量 1 , 2 , , n ，,换 A ， 使得,A i = i , i = 1, 2, , n . (3),综合以上两点，得,必有一个线性变,46,定理 1 设 1 , 2 , , n 是线性空间 V 的一,组基， 1 , 2 , , n 是 V 中任意 n 个向量.,存,在唯一的线性变换 A 使,A i = i , i = 1, 2, , n .,有了以上的
22、讨论，我们就可以来建立线性变换,与矩阵的联系.,47,二、线性变换的矩阵,1.,定义 7 设 1 , 2 , , n 是数域 P 上 n 维线性,空间 V 的一组基，,基向量的像可以由基线性表出：,A 是 V 中的一个线性变换.,48,用矩阵表示就是,A (1 , 2 , , n ) = (A 1 , A 2 , , A n ),= (1 , 2 , , n ) A ，,其中,矩阵 A 称为变换 A 在基 1 , 2 , , n 下的矩阵.,(5),49,例 1 设 1 , 2 , , m 是 n ( n m ) 维线性空,间 V 的子空间 W 的一组基，把它扩充为 V 的一组,基 1 , 2
23、 , , n .,指定线性变换 A 如下：,如此确定的线性变换 A 称为对子空间 W 的一个,投影.,不难证明投影 A 在基 1 , 2 , , n 下的矩,阵是,50,51,这样，当空间 V上取定一组基后，就建立了由数域,P 上的 n 维线性空间 V 的线性变换到数域 P 上,的 n n 矩阵的一个映射.,前面的,说明这,个映射是单射，,说明这个映射是满射.,换,句话说，我们在这二者之间建立了一个双射.,这个,对应的重要性表现在它保持运算，即有,52,2. 性质,定理 2 设 1 ,2 , ,n 是数域 P 上 n 维线性空,间 V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按,对应一个 n n 矩
24、阵.,这个对应具有,以下的性质：,1) 线性变换的和对应于矩阵的和；,2) 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；,3) 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；,53,4) 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变,换对应于逆矩阵.,证明,设 A ，B 是两个线性变换，它们在,基 1 , 2 , , n 下的矩阵分别是 A，B，即,A (1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n ) A ，,B (1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n ) B .,1) 由,(A + B ) (1 , 2 , , n ),= A (1 , 2 , , n ) + B(1 , 2 , ,
25、 n ),54,= (1 , 2 , , n ) A + (1 , 2 , , n ) B,= (1 , 2 , , n )( A + B ) .,可知，在基1 , 2 , , n 下，线性变换 A + B 的,矩阵是A + B.,2) 相仿地，,(AB ) (1 , 2 , , n ),= A (B (1 , 2 , , n ) ),= (A (1 , 2 , , n ) B ),= (A (1 , 2 , , n ) ) B,55,= (1 , 2 , , n ) AB .,因此，在基1 , 2 , , n 下，线性变换 A B 的矩,是 AB .,3) 因为,( k 1 , k 2 ,
26、, k n ) = (1 , 2 , , n )kE .,所以数乘变换 K 在任何一组基下都对应于数量矩,阵kE .,由此可知，数量乘积 kA 对应于矩阵的数,量乘积 kA .,56,4) 单位变换 E 对应于单位矩阵，因此等式,A B = BA = E,与等式,AB = BA = E,相对应，,逆变换与逆矩阵相应.,证毕,从而可逆线性变换与可逆矩阵对应，而且,57,定理 2 说明数域 P 上 n 维线性空间 V 的全部线,性变换组成的集合 L( V ) 对于线性变换的加法与,数量乘法构成 P 上一个线性空间，,级方阵构成的线性空间 P n n 同构 .,利用线性变换的矩阵可以直接计算一个向量
27、的像.,与数域 P 上 n,58,三、向量像的计算公式,定理 3 设线性变换 A 在 基1 , 2 , , n下的,矩阵是 A，,(x1 , x2 , , xn )，,标 (y1 , y2 , , yn ) 可以按公式,计算.,向量 在基 1 , 2 , , n 下的坐标是,则 A 在基 1 , 2 , , n 下的坐,59,证明,由假设,于是,60,61,另一方面，由假设,由于1 , 2 , , n 线性无关，所以,证毕,62,线性变换的矩阵与空间中的一组基有密切联系.,一般来说，随着基的改变，同一个线性变换就,有不同的矩阵.,为了利用矩阵来研究线性变换，,线性变换的矩阵是如何随着基的改变而
28、改变的.,有必要弄清楚,63,四、线性变换在不同基下矩阵的关系,定理 4 设线性空间 V 中线性变换 A 在两组基,1 , 2 , , n ， (6),1 , 2 , , n (7),下的矩阵分别为 A 和 B，从基 (6) 到 (7) 的过渡,矩阵是 X，,于是 B = X-1 A X .,64,证明,已知,(A 1 , A 2 , , A n ) = (1 , 2 , , n )A，,(A 1 , A 2 , , A n ) =(1 , 2 , , n )B，,(1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n )X .,于是,(A 1 , A 2 , , A n ) = A (1
29、 , 2 , , n ),= A (1 , 2 , , n )X ,= A (1 , 2 , , n )X,= (A 1 , A 2 , , A n )X,65,= (1 , 2 , , n )X-1AX .,由此即得,B = X-1AX .,证毕,定理 4 给出了同一个线性变换 A 在不同基下的,矩阵之间的关系.,这个基本关系在以后的讨论中十分重要.,由此，我们引进相应的定义.,= (1 , 2 , , n ) AX,= (1 , 2 , , n ) X-1 A X .,66,五、相似矩阵,1. 定义,定义 8 设 A，B 为数域 P 上两个 n 级矩阵，,若有数域 P 上的 n 级可逆矩阵
30、 X，使得,B = X-1 A X ,则称 A 相似于 B，记作 A B .,67,2. 性质,相似是矩阵之间具有下面三个性质：,1) 反身性：A A .,这是因为 A = E-1AE .,2) 对称性：如果 A B，那么 B A .,如果 A B，那么有 X 使 B = X-1 A X .,令 Y = X-1,就有 A = XBX-1 = Y-1BY，所以 B A .,68,3) 传递性：如果 A B，B C，那么 A C .,即已知 X，Y 使 B = X-1AX ， C = Y-1BY .,令,Z = XY，就有 C = Y-1X-1AXY = Z-1AZ，,因此 A C .,矩阵的相似
31、对于运算还有下面的性质.,4) 若 B1 = X-1A1X， B2 = X-1A2X，则,B1 + B2 = X-1( A1 + A2)X ；,B1B2 = X-1( A1 A2)X .,69,5) 若矩阵 A 与 矩阵 B 相似, 且矩阵 A 可逆,则矩阵 B 也可逆, 且 A-1 与 B-1 相似.,即 A-1 与 B-1 相似.,证明 因为矩阵 A 与 矩阵 B 相似, 即存在可,| B | = | X-1AX | = |X-1| | A | | X | = | A | .,所以, 当 | A | 0 时, 必有 | B | 0, 即 A 可逆时,B 也可逆.,设 X 为可逆矩阵, 且
32、B = X-1AX, 则,B-1 = (X-1AX)-1 = X-1A-1X ,矩阵 X 使得 B = X-1AX，于是,证毕,70,同样 g(A) 与 g(B) 相似.,6) 若矩阵 A 与 B 相似, k 是常数, m 是正整数,g(x) = a0xm + a1xm-1 + + am ,则 kA 与 kB 相似,Am 与 Bm 相似,有了矩阵相似的概念之后，直接得到,定理 5 线性变换在不同基下的矩阵是相似的；,反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作,同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.,71,证明,前一部分已经由定理 4 给出.,下面证明后,一部分.,设 n 级矩阵 A 和 B 相
33、似.,A 可以看做是,n 维线性空间 V 中一个线性变换 A 在基1 , 2 , ,n 下的矩阵.,因为 B = X-1AX，,(1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n ) X .,显然， 1 , 2 , , n 也是一组基，,的矩阵就是 B .,证毕,A 在这组基下,令,72,例 2 设 V 是数域 P 上一个二维线性空间，线性,变换 A 在基 1 = (1 , 0) , 2 = (0 , 1) 下的矩阵是,1) 求线性变换 A 在基 1 , 2 下的矩阵 B, 其中,1 = 1 - 2 , 2 = 3 1 + 4 2 ;,2) 求 An ( n 为正整数) .,73,解
34、1),由已知条件,及,74,2) 由 B = X-1AX，得,所以,= X B n X -1,A = XBX-1 .,75,76,区间a, b上连续函数的全体，记为Ca,b; 区间a, b上二阶连续可微函数的全体，记为C2a,b; 按照通常函数的加法和数与函数的乘法两种运算, 构成数域 K 上的线性空间.,连续与离散关系,77,78,结合边界条件,79,其中,80,特征值与特征向量的定义 特征值与特征向量的几何意义 特征值与特征向量的求法 特征值与特征向量的例子 特征子空间及其性质,4 特征值与特征向量,81,一、特征值与特征向量的定义,在有限维线性空间中，给定一组基后，线性变换,可用矩阵表示
35、.,为利用矩阵来研究线性变换，,希望能找到一组基，,使其矩阵具有最简单形式.,为此，先介绍特征值和特征向量的概念.,对给定的线性变换，,82,定义 9 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的一个线性,如果对数域 P 中一个数 0 ，存在一个非零,向量 ，使得,A = 0 .,则 0 称为 A 的一个特征值，而 称为 A 的属,于特征值 0 的一个特征向量.,这里需要注意，特征值 0 是数域 P 中的数,特征向量 是非零向量.,显然，零向量对任意的0,都满足 A = 0 ，因此这不具有“特征”意义.,变换，,83,二、特征值与特征向量的几何意义,在几何向量空间 R2 和 R3 中，线性变换 A
36、的特,征值与特征向量的几何意义是：,特征向量 ( 起,点在坐标原点) 与其像 A 同向(或反向)，同向时，,特征值 0 0，反向时， 0 0，且 0 的绝对值等,于 | A | 与 | | 之比值；,征向量被线性变换变成 0 .,如果特征值 0 = 0，则特,84,如：在R2 中，向量绕原点按逆时针方向旋转 ,角的旋转变换 S ，当 0 时，对任意非零,向量 R2 ， S ( ) 与 都不共线 ( 图 7-8所示 ),此时， S 没有实特征值；,85,当 = ，R2 中任何非零向量 都与 S ( )共线，,且S ( ) = - (图 7-9所示).,所以，- 1 是 S 的特征值，而且任何非零
37、向量 是,都其特征向量.,86,若 是线性变换 A 的属于特征值 0 的特征向量，,那么 的任一个非零倍数 k 也是 A 的属于 0 的,特征向量 .,因为从 A = 0 可以推出,A (k ) = 0 (k ) .,这说明特征向量不由特征值唯一确定.,相反，特征值却由特征向量唯一确定，因为一个,特征向量只能属于一个特征值.,87,三、特征值与特征向量的求法,设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间，1 , 2 , , n,是其一组基，,又设 0 是 A 的特征值， 是 A 的属于0 的一个,特征向量，,x01 , x02 , , x0n .,则 A 的坐标是,线性变换 A 在这组基下的矩阵是
38、 A., 在基 1 , 2 , , n 下的坐标是,88,0 的坐标是,因此 A = 0 相当于坐标之间的等式,89,上式可进一步变形成,这说明特征向量 的坐标 (x01 , x02 , , x0n ) 满足,齐次方程组,( 0E - A ) = 0 .,由 0，所以其坐标 x01 , x02 , , x0n 不全为零，,90,即齐次方程组 ( 0E - A ) = 0 有非零解.,由于齐次线性方程组有非零解的充分必要条件,是它的系数行列式等于零，,由此，我们引入如下定义.,即,91,定义 10 设 A 是数域 P 上一 n 级矩阵， 是,一个字符.,矩阵 E - A 的行列式,称为 A 的特
39、征多项式.,这是数域 P 上的一个 n 次多项式.,92,上述讨论说明：若 0 是线性变换 A 的特征值，,那么 0 一定是矩阵 A 的特征多项式的一个根；,反过来，如果 0 是矩阵 A 的特征多项式在数域,P 中的一个根，即 |0E - A | = 0，那么齐次线性,方程组 ( 0E - A ) X = 0 就有非零解.,此时，如果,(x01 , x02 , , x0n ) 是方程组 ( 0E - A ) X = 0 的一,个非零解，那么非零向量, = x011 + x022 + + x0nn,满足A = 0 ，即 0 是线性变换 A 的一个特征值.,93,于是得到求A 的特征值与特征向量的
40、步骤如下：,步骤2 ：计算 A 的特征多项式，并求出特征方程,在数域 P 中的所有根.,征值 1 , 2 , , s ，它们就是线性变换 A 的全, 就是属于特征值 0 的一个特征向量.,步骤1 ：在线性空间 V 中取一组基 1 , 2 , , n ，,写出 A 在这组基下的矩阵 A ；,设矩阵 A 有 s 个不同的特,部特征值.,94,量在基 1 , 2 , , n 下的坐标.,步骤3 : 对 A 的每个特征值 i ( i = 1, 2, , s ),求解齐次线性方程组 (i E - A ) X = 0，,的全部解即为矩阵 A 的对应于 i 的全部特征向,矩阵 A 的特征多项式的根有时也称为
41、 A 的特征,而相应的线性方程组 (i E - A ) X = 0 的解,也就称为 A 的属于这个特征值的特征向量.,值，,该方程组,95,四、特征值与特征向量的举例,例 1 在 n 维线性空间中，数乘变换 K 在任,意一组基下的矩阵都是 kE，,| E - kE | = ( - k)n .,因此，数乘变换 K 的特征值只有 k .,由定义可知,每个非零向量都是属于数乘变换 K 的特征向量.,它的特征多项式是,96,例 2 设线性变换 A 在基1 , 2 , 3下的矩阵是,求 A 的特征值与特征向量.,解,A 的特征多项式为,97,所以，A 的特征值为,当,时, 解方程组,即,98,解得: 基
42、础解系为,所以属于,的一个线性无关的特征向量是, 1 = 1 + 2 + 3，,对应的全部特征向量为,99,当,时, 解方程组,即,100,解得：基础解系为,所以属于,的线性无关的特征向量为,对应的全部特征向量为,101,在空间 Pxn 中，线性变换,D f (x) = f (x),在基,下的矩阵是,例 3,102,D 的特征多项式是,因此，D 的特征值只有 0 .,通过解相应的齐次线性,方程组知道，,组只能是任一非零常数.,这表明微商为零的多项式,只能是零或非零的常数.,属于特征值 0 的线性无关的特征向量,103,例 4 平面上全体向量构成实数域上一个二维线,性空间，第一节,中旋转变换 S
43、 在直角坐标系下,的矩阵为,它的特征多项式为,当 k 时，这个多项式没有实根，因而，当 ,k 时， S 没有特征值.,104,五、特征子空间及性质,容易看出，对于线性变换 A 的任一个特征值,0 ，全部适合条件,A = 0,的向量 所成的集合，,部特征向量再添上零向量所成的集合，是 V 的一,个子空间，,显然，,的维数就是属于 0 的线性无关的特征,向量的最大个数.,也就是 A 的属于 0 的全,称为 A 的一个特征子空间，,记为,105,(2) 12 n = |A|.,证,性质 1 设 1 , 2 , n 是 n 阶矩阵 A = (aij) 的,n 个特征值( k 重特征值作为 k 个特征值
44、) ,(1) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann ;,由行列式的定义可知, A 的特征多项式为,则,106,因而, A 的特征多项式中, n 与 n-1 的系数由该项,其中, 有一项是主对角线上 n 个元素的乘积,( - a11) ( - a22) ( - ann),而其他各项至多含有主对角线上的 n - 2 个元素.,确定.,不难看出, n 的系数为 1 , n-1 的系数为,-(a11 + a22 + + ann).,另外, 在特征多项式中,令 = 0 可得其常数项为 |A| .,故,107,12 n = |A|. 证毕,由于 1 , 2 , , n 是 A 的
45、 n 个特征值, 所以,| E - A | = ( - 1)( - 2) ( - n) .,比较上述两式，可得,1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann ;,| E - A | = n - (a11 + a22 + + ann)n-1 + + (-1)n |A| .,108,在有限维空间中，任取一组基后，特征值是线性,变换在这组基下矩阵的特征多项式的根.,随着基的不同，线性变换的矩阵一般不相同.,但这些矩阵是相似的，,因此，我们有以下性质,性质 2 相似的矩阵有相同的特征多项式.,证明,设 A B，即有可逆矩阵 X，使,B = X-1AX .,于是,| E - B | =,| E - X-1AX |,= | X-1(E - A)X |,= | X-1 | | E - A | | X |,= | E - A | .,证毕,109,性质 2 说明，,与基的选择无关，,因此，以后就可以称为线性变换的特征多项式.,它直接由线性变换确定.,线性变换对应的矩阵的特征多项式,应该指出，,即：特征多项式相同的矩阵不一定是相似的.,例如,它们的特征多项式都是 ( - 1)2 ，但 A 和 B不相似,因为和 A 相似的矩阵只能是 A 本身.,
