1、1 大题规范练(六) “17题19题二选一”46分练 (时间：45分钟 分值：46 分) 解答题(本大题共4小题，共46分，第2223题为选考题解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 17设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsin A. (1)求B的大小； (2)求cos Asin C的取值范围 解 (1)a2bsin A， 根据正弦定理得sin A2sin Bsin A， sin B ， 1 2 又ABC为锐角三角形， B . 6 (2)B ， 6 cos Asin Ccos Asin cos Asin cos A cos ( 6 A ) ( 6 A ) 1
2、2 A sin A sin . 3 2 3 ( A 3 ) 由ABC为锐角三角形知，AB ， 2 A ， A ， 3 2 2 3 3 5 6 sin ， 1 2 ( A 3 ) 3 2 sin ， 3 2 3 ( A 3 ) 3 2 cos Asin C的取值范围为 . ( 3 2 ， 3 2 ) 18如图10，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，FABDAB90，二面角 FABD是直二面角，BEAF，BCAD，AFABBC2，AD1.2 图10 (1)证明：在平面BCE上，一定存在过点C的直线l与直线DF平行； (2)求二面角FCDA的余弦值. 【导学号：07804238】 解 (1
3、)证明：由已知得，BEAF，AF平面 AFD，BE平面 AFD， BE平面AFD. 同理可得，BC平面AFD. 又BEBCB，平面BCE平面AFD. 设平面DFC平面BCEl，则l过点C. 平面BCE平面ADF，平面DFC平面BCEl，平面DFC平面AFDDF， DFl，即在平面BCE上一定存在过点C的直线l，使得DFl. (2)平面ABEF平面ABCD，FA平面 ABEF，平面ABCD平面ABEFAB， 又FAB90，AFAB，AF平面ABCD， AD平面 ABCD，AFAD.DAB90， ADAB. 以A为坐标原点，AD，AB，AF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 如图由
4、已知得，D(1,0,0)，C(2,2,0)，F(0,0,2)， (1,0,2)， (1,2,0) DF DC 设平面DFC的法向量为n(x，y，z)， 则Error! Error!， 不妨取z1，则n(2，1,1)， 不妨取平面ACD的一个法向量为m(0,0,1)，3 cosm，n ， mn |m|n| 1 6 6 6 由于二面角FCDA为锐角， 因此二面角FCDA的余弦值为 . 6 6 19某大型汽车城为了了解销售单价(单位：万元)在8,20内的轿车的销售情况，从2016 年上半年已经销售的轿车中随机抽取100辆，获得的所有样本数据按照8,10)， 10,12)，12,14)，14,16)，
5、16,18)，18,20分成6组，制成如图11所示的频率 分布直方图 图11 已知样本中销售单价在14,16)内的轿车数是销售单价在18,20内的轿车数的2倍 (1)求出x与y，再根据频率分布直方图估计这100辆轿车销售单价的平均数(同一组 中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)若将频率视为概率，从这批轿车中有放回地随机抽取3辆，求至少有1辆轿车的销 售单价在14,16)内的概率； (3)用分层抽样的方法从销售单价在8,20内的轿车中共抽取20辆，再从抽出的20辆 轿车中随机抽取2辆，X表示这2辆轿车中销售单价在10,12)内的轿车的数量，求X 的分布列及数学期望E(X) 解 (1)样本
6、中轿车的销售单价在14,16)内的轿车数是x2100200x， 样本中轿车的销售单价在18,20内的轿车数是y2100200y， 依题意，有200x2200y，即x2y， 根据频率分布直方图可知(0.120.025x0.05y)21， 由得x0.15，y0.075. 根据频率分布直方图估计这100辆轿车销售单价的平均数为 0.0252 0.052 0.12 0.152 810 2 1012 2 1214 2 1416 2 1618 2 0.12 0.07520.451.12.64.53.42.8514.9(万元) 1820 2 (2)若将频率视为概率，从这批轿车中有放回地随机抽取3辆，则至少有
7、1辆轿车的销 售单价在14,16)内的概率为1C (0.3) 0 (0.7) 3 10.3430.657. 0 34 (3)因为销售单价在8,10)，10,12)，12,14)，14,16)，16,18)，18,20的轿车 的分层抽样比为124643，故在抽取的20辆轿车中，销售单价在10,12)内 的轿车有20 2(辆)， 2 20 X的所有可能取值为0,1,2， 则P(X0) ， C0 2C2 18 C2 20 153 190 P(X1) ， C1 2C1 18 C2 20 36 190 18 95 P(X2) . C2 2 C2 20 1 190 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 1
8、53 190 18 95 1 190 E(X)0 1 2 . 153 190 18 95 1 190 1 5 (请在第 2223题中选一题作答，如果多做，则按照所做第一题计分) 22选修44：坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程为Error!(t为参数)，曲线C 1 的参数方程为Error!(t为参数)， 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C 2 的极坐标方程为 4cos . (1)若直线l的斜率为2，判断直线l与曲线C 1 的位置关系； (2) 求C 1 与C 2 交点的极坐标(0,02). 【导学号：07804239】 解 (1)斜率为2时，直线l的普通方程为y12
9、(x1)，即y2x3. 将Error!消去参数 t，化为普通方程得(x2) 2 (y4) 2 4， 则曲线C 1 是以C 1 (2,4)为圆心，2为半径的圆，圆心C 1 (2,4)到直线l的距离d 2， |443| 5 3 5 5 故直线l与曲线(圆)C 1 相交 (2)C 2 的直角坐标方程为x 2 y 2 4x0， 由Error! 解得Error! 所以C 1 与C 2 交点的极坐标为 . ( 2 2， 4 ) 23选修45：不等式选讲5 设函数f(x)|2xa|2a. (1)若不等式f(x)6的解集为x|6x4，求实数a的值； (2)在(1)的条件下，若不等式f(x)(k 2 1)x5的解集非空，求实数k的取值范 围 解 (1)|2xa|2a6，|2xa|62a， 2a62xa62a， a3x3 ， 3 2 a 2 不等式f(x)6的解集为x|6x4， Error! 解得a2. (2)由(1)得f(x)|2x2|4. |2x2|4(k 2 1)x5， 化简整理得|2x2|1(k 2 1)x， 令g(x)|2x2|1Error! yg(x)的图象如图所示， 要使不等式f(x)(k 2 1)x5的解集非空，需k 2 12或k 2 11， 解得k 或k 或k0， 3 3 k 的取值范围是k|k 或 k 或k0 3 3
