1、1 第2课时 圆的一般方程 学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟 练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程. 知识点 圆的一般方程 思考1 方程x 2 y 2 2x4y10，x 2 y 2 2x4y60分别表示什么图形？思考2 方程x 2 y 2 DxEyF0是否表示圆？梳理 方程 条件 图形 D 2 E 2 4F0 表示以( ， )为圆心，以 D 2 E 2 1 2 为半径的圆 D2E24F 类型一 圆的一般方程 命题角度1 圆的一般方程的概念 例1 若方程x 2 y 2 2mx2ym 2 5m0表示圆
2、，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标 和半径.反思与感悟 形如x 2 y 2 DxEyF0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下 两种方法2 (1)由圆的一般方程的定义，若D 2 E 2 4F0成立，则表示圆，否则不表示圆. (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解. 应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x 2 y 2 DxEyF0这种标准形式，若不是， 则要化为这种形式再求解. 跟踪训练1 (1)已知aR，方程a 2 x 2 (a2)y 2 4x8y5a0表示圆，则圆心坐标为 _，半径为_. (2)点M、N在圆x 2 y 2 kx2y40上，且点M、N关于直线xy10对称，则该圆
3、 的面积为_. 命题角度2 求圆的一般方程) 例2 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，1). (1)求ABC的外接圆的方程； (2)若点 M(a,2)在ABC的外接圆上，求a的值. 引申探究 若本例中将条件改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线yx对称” ，其他条件不变，如 何求圆C的方程？ 反思与感悟 应用待定系数法求圆的方程时应注意 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆 的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求 出常数D，E，F. 跟踪训练2 已知一圆过P
4、(4，2)，Q(1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4 ，求 3 圆的方程.类型二 圆的方程在实际生活中的应用 例3 如图所示，一座圆拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水 面下降1米后，水面宽多少米？3反思与感悟 本类题一般是用解析法解决实际问题.解析法解决实际问题的步骤：建系、设 点、列式、计算、总结. 跟踪训练3 已知隧道的截面是半径为 4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆 宽为3 m，高为3.5 m的货车能不能驶入这个隧道？类型三 求动点的轨迹问题 例4 已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半. (1)求动点M的轨迹方程； (
5、2)若N 为线段AM的中点，试求点N的轨迹.反思与感悟 求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的直角坐标系，用有序实数对(x，y)表示动点P的坐标. (2)写出适合条件的点P的集合MP|M(P). (3)用坐标表示条件M(P)，列出方程f(x，y)0. (4)化方程f(x，y)0为最简形式. (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得的线段长为2 ，在y轴上 2 截得的线段长为2 . 3 (1)求圆心P的轨迹方程； (2)若P 点到直线yx的距离为 ，求圆P的方程. 2 241.圆2x 2 2y 2 6x4y30的圆心坐标和
6、半径分别为_. 2.若方程x 2 y 2 xym0表示圆，则实数m的取值范围是_. 3.M(3,0)是圆x 2 y 2 8x2y100内一点，过点M的最长弦所在的直线方程是_. 4.若圆x 2 y 2 2x4ym0的直径为3，则m的值为_. 5.点P(4，2)与圆x 2 y 2 4上任一点连线的中点的轨迹方程是_. 1.圆的一般方程x 2 y 2 DxEyF0，来源于圆的标准方程(xa) 2 (yb) 2 r 2 .在应用 时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件. 2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便 简化解题过程. 3.对于曲线的轨迹问题，要作
7、简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹 方程的一般步骤.5 答案精析 问题导学 知识点 思考1 对方程x 2 y 2 2x4y10配方，得(x1) 2 (y2) 2 4，表示以(1，2)为 圆心，2 为半径的圆， 对方程x 2 y 2 2x4y60配方，得(x1) 2 (y2) 2 1，不表示任何图形 思考2 对方程x 2 y 2 DxEyF0配方并移项，得 (x ) 2 (y ) 2 . D 2 E 2 D2E24F 4 当D 2 E 2 4F0时，方程表示以( ， )为圆心， 为半径的圆； D 2 E 2 1 2 D2E24F 当D 2 E 2 4F0时，方程只有实数解x
8、，y ，它表示一个点( ， )； D 2 E 2 D 2 E 2 当D 2 E 2 4F0时，方程无实数解，它不表示任何图形 题型探究 例1 解 由表示圆的条件， 得(2m) 2 (2) 2 4(m 2 5m)0， 解得m0)， 将A的坐标(x 0 ，3)代入方程， 得x 0 ， 51 当水面下降1米后， 水面宽为2x 0 2 米 51 跟踪训练3 解 如图，以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为 x轴，建立直角坐标系，那么半圆的方程为x 2 y 2 16(y0)， 将x3 代入得 y 33.5， 1632 7 9 即在离中心线3 m处，隧道的高度低于货车的高度 因此，该货
9、车不能驶入这个隧道 例4 解 (1)设动点M(x，y)为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合 PM|MA MB 1 2 由两点间的距离公式知，点M适合的条件可表示为 ， x22y2 1 2 x82y2 平方后再整理，得x 2 y 2 16. 可以验证，这就是动点M的轨迹方程 (2)设动点N的坐标为(x，y)，M的坐标为(x 1 ，y 1 ) 由于A(2,0)，且N为线段AM的中点， 所以x ，y ， 2x1 2 0y1 2 所以x 1 2x2，y 1 2y. 由(1)知，M是圆x 2 y 2 16上的点， 所以点M的坐标(x 1 ，y 1 )满足x y 16. 2 1 2 1 将代入整理，得(
10、x1) 2 y 2 4. 所以N的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆 跟踪训练4 解 (1)设P(x，y)，圆P的半径为r. 由题设得y 2 2r 2 ，x 2 3r 2 ，8 从而y 2 2x 2 3. 故圆心P的轨迹方程为y 2 x 2 1. (2)设P(x 0 ，y 0 )，由已知得 . |x0y0| 2 2 2 又P在曲线y 2 x 2 1上， 从而得Error! 由Error!得Error! 此时，圆P的半径r . 3 由Error!得Error! 此时，圆P的半径r . 3 故圆P的方程为x 2 (y1) 2 3或x 2 (y1) 2 3. 当堂训练 1. ， 2. ( 3 2 ，1 ) 19 2 ( ， 1 2 ) 3xy30 4. 11 4 5(x2) 2 (y1) 2 1
