1、第八章 重积分二、三重积分的计算与应用,第一节 二重积分的概念和性质,我们已经知道，定积分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形式的和式的极限.由于科学技术和生产实践的发展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空间物体的质量、重心、转动惯量等，定积分已经不能解决这类问题，另一方面，从数学逻辑思维的规律出发，必然会考虑定积分概念的推广，从而提出了多元函数的积分学问题。,当人们把定积分解决问题的基本思想“分割、近似代替、求和、取极限”用于解决这类问题时发现是完全可行的。把解决的基本方法抽象概括出来，就得到多元函数积分学。,具体地说就是推广到：定义在平面区域上的二元函数、定义在空间区域上的三元函数
2、、定义在一段平面曲线弧上的二元函数、定义在空间一段曲线弧上的三元函数、定义在空间曲面上的三元函数，从而得到二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分。这就是多元函数积分学的内容。,本章将讨论重积分，包括二重积分、三重积分的概念、性质、计算和应用。,Def:1、几何体的直径 在区域内任意两点间的距离的上确界。 比如：平面上矩形的直径为对角线的长度；球体的直径就是其本身的直径。 Def:2、可求面积的（对平面图形）：在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分给定闭区域D，该组正交直线网把平面划分成许多小矩形，这些小矩形可分为三类：1、矩形的点都是D的内点；2、都是D的外点；3、含有D的边界点。 将属于
3、第1类的矩形面积求和记为s。将全体1、3类矩形面积求和，记为S，则s和S都和直线网的划分有关，对不同的划分，s和S一般的不会相等。记 d=max矩形直径。若d0时，相应的有（S-s）0. 我们就称该平面区域D是可求面积的。 Def:3、可求体积的（立体）用三族互相垂直的平面截取几何体，与定义2中一样递推即可。,求非均匀物体的质量问题，假设问题的密度函数f（M）是点M的连续函数：,1、质量分布在一根直线段AB上，在定积分概念与计算中：其质量等于f(M)的定积分。,2求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，,所有小块质量之和 近似等于薄片总质量,特点：平顶.,
4、曲顶柱体体积=？,特点：曲顶.高是变化的,3曲顶柱体的体积,求曲顶柱体的体积采用 “分割、以常代变、求和、取极限”的方法，,步骤如下：,2、用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积，,1、先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，作小平顶柱体，并求体积,3、曲顶柱体的体积,4:曲线形构件的质量,匀质之质量,分割,求和,取极限,近似值,精确值,非匀质,所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.,对上面五种情况：各自具体的对象不同，但归结为处理同一种形式的和的极限问题，概括地给出下面定义： Def: 有界闭区域 上黎曼积分定义： 设 为一几何形体，它
5、是可度量的，在该几何体上定义一函数f(M), ，将 分为若干可度量的小块 ，并把它们的度量大小仍记为 ，并令 为最大直径；在每小分块 中任取一点 ，做和式（黎曼和数/积分和数） ，若该和式不论对,的怎样划分以及 在 上如何选取，只要时恒有同一极限 ，则称此极限为f(M) 在几何形体 上的黎曼积分。 记为 ：,根据几何形体的具体形式，可分别给出 各几何形体上的积分的具体表达式及名称：1、若为一块可求面积的平面图形 D ，则 D 上的积分称为：二重积分。 直角坐标系下记为：2、若为一块可求体积的空间几何体 V, 则在 V 上的积分称为：三重积分。 直角坐标系下记为：,3、如果是一条可求长的空间曲线
6、L，则在L上的积分称为：第一类曲线积分。 记为： 4、如果是可求面积的曲面块S,则 S上的积分称为：第一类曲面积分。 记为：,二、二重积分的概念,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,对二重积分定义的说明：,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,（3）有界闭域D上的有节函数f(x,y)若只在有限条曲线间断.在其余的点都连续，则f(x,y)是可积的。,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素为,叫做直角坐标系中的面积元素,性质,当 为常数时，,性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,三、二重积分的性质,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积，,性质,若在D上,特殊地,则有,性质,性质,（二重积分中值定理）,（二重积分估值定理）,解,解：,解：,解,1,1,2,x + y =1,x + y 1,由二重积分的性质,更确切的,I1 I2,二重积分的定义,二重积分的性质,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（和式的极限）,四、小结,
