1、第二十一章 重积分,1 二重积分的概念 2 直角坐标系下的二重积分的计算 3 格林公式 曲线积分与路径无关的条件 4 二重积分的变量变换（换元积分法） 5 三重积分的概念 6 重积分的应用,1 二重积分的概念,一、平面图形的面积 二、问题的提出 三、二重积分的定义 四、二重积分存在的条件 五、二重积分的性质,一、平面图形的面积,为了研究定义在平面点集上二元函数的积分，,D,设平面图形D有界,则存在一个矩形R,使得,为了考察D的面积，先用一组平行于坐标轴的直线网T分割D ，如图,T的网眼（小矩形）i可 以分为三类：,(1) i上的点均是D内的点；,(2) i上的点均是D的外点；,(3) i上的点
2、含有D的边界点。,首先讨论平面有界图形的面积。,D,(1),(1),(1),(1),(3),(3),(3),(3),(2),(2),(2),将属于直线网T的第(1)类小矩形的面积作和，记为,将属于直线网T的第(1)类与第(3)类小矩形的面积作和，记为,则有,由确界原理可知：,对于平面图形D的所有直线网的分割T，,记为,于是有,(1),定义1,则称D为可求面积，并将,定理21.1.1,证明过程完全类似于定积分.,推论,定理21.1.2,定理21.1.3,定理21.1.4,特点：平顶,柱体体积=？,特点：曲顶,1. 曲顶柱体的体积,二、问题的提出,曲顶柱体,曲顶柱体：,以曲面：z=f(x,y)为顶
3、，一般z=f(x,y)在D上连续。,以平面有界区域D为底，,侧面是柱面，该柱面以D为准线，母线平行于z轴。,还有其他类型的柱面。,步骤如下：,用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,采用类似于求曲边梯形面积方法,(1) 分割,(2) 作近似,(3) 求和,(4) 取极限,令,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，,所有小块质量之和 近似等于薄片总质量,2、求平面薄片的质量,设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为 (x,y) ，假定 (x,y)在D上连续，平面薄片的质量为多少？,定义1 设
4、f (x, y)在有界闭域D上有界，若对于D的任意分割和在i上任意取 (i , i) ，作积、作和，,存在，则称其为f (x, y)在D上的二重积分，记为,三、二重积分的概念,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,分划细度,若极限,简单的说,定义2 设f (x, y)是定义在可求面积的有界闭域D上的函数,J为一个常数,若0,总0,使得对于D的任意分割T,当他的分割细度|T|,属于T的所有积分和均有,则称函数f (x, y)在D上可积,数J称为f (x, y)在D上的二重积分.,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积;,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值.,若
5、位于xoy面上方柱体的体积为正值； 位于xoy面下方柱体的体积为负值，,二重积分的几何意义是柱体的体积的代数和。,曲顶柱体体积,平面薄片的质量,对二重积分定义的说明：,(1) 二重积分的定义中，对闭区域的划分和介点选取是任意的。,(2) 二重积分的几何意义,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分在直角坐标系中可写为,则面积元素为,积分变量,二重积分的具体形式,dx,dy,(3) 与定积分相似,若函数f (x, y)在D上可积,可采用特殊的分割,特殊的取点方式得一积分和的极限就为二重积分值.,四、二重积分可积的条件,什么样的函数可积?,类似于定积分,1 必要条件,属于分割
6、T的上和,属于分割T的下和,定理21.2.5,2 可积的充分条件,上和、下和的性质类似于定积分,于是有,2 可积的充要条件,定理21.1.6,定理21.1.7,定理21.1.8,定理21.1.9,证明见教材P215-216,性质3,对区域具有可加性,性质4,若为D的面积,性质5,若在D上,特殊地,则有,性质1,当k为常数时，,性质2,（二重积分与定积分有类似的性质）,五、二重积分的性质,性质6,性质7,（二重积分中值定理）,（二重积分估值不等式）,解,例1,不作计算，估计,在D上,由性质6知,区域D的面积,解,例2,解,例3,解,例4,二重积分的定义,二重积分的性质,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积代数和）,（和式的极限）,小结,（线性、区域可加性、估值不等式）,
