1、,数学实验高等数学分册,数学实验,第1章 函数与极限,第1章函数与极限,验证性试验实验一 函数图形 实验二 函数的极限 实验三 复合函数与反函数,第1章函数与极限-验证性实验,实验一 函数图形 【实验目的】 1.了解基本初等函数及图形特征，会用Matlab图形命令画图 2.会画复合函数、参量函数及分段函数的图形 【实验要求】 熟悉Matlab图形命令plot,第1章函数与极限-验证性实验,【实验内容】 1.利用图形命令分别在同一坐标系下画出下列基本初等函数 的图形，并观察图形特征 （1） 【实验过程】1.（1）x=-1:0.01:1;y1=x;y2=x.2;y3=x.3;y4=x.4;plot
2、(x,y1,-,x,y2,:,x,y3,*,x,y4,-); gtext(y=x),gtext(y=x2),gtext(y=x3),gtext(y=x4),第1章函数与极限-验证性实验,运行结果：图1-1 幂函数图,第1章函数与极限-验证性实验,（2） x=linspace(-1,1,60); y1=2.x;y2=10.x;y3=(1/3).x;y4=exp(x); plot(x,y1,-,x,y2,:,x,y3,*,x,y4,-);,第1章函数与极限-验证性实验,运行结果：图1-2 指数函数图,第1章函数与极限-验证性实验,2.利用图形命令画出下列函数的图形 （1） ; x=-5:0.01:
3、5; y=3*x.2-x.3; plot(x,y);,第1章函数与极限-验证性实验,运行结果：图1-3 函数的 图形,第1章函数与极限-验证性实验,（2） ; x=-pi:0.01:pi;y=cos(4*x); plot(x,y);,第1章函数与极限-验证性实验,运行结果：图1-4 函数 的图形,第1章函数与极限-验证性实验,实验二 函数的极限【实验目的】 1.熟悉函数极限的概念 2.掌握求各种类型函数的极限的方法 3.会用Matlab命令求函数极限 【实验要求】 熟悉Matlab中求极限的命令limit,第1章函数与极限-验证性实验,【实验内容】 1.计算下列极限 (1) (2)【实验过程】
4、 （1） syms x a b limit(sin(a*x)/sin(b*x), x,0) 运行结果： ans = a/b,第1章函数与极限-验证性实验,（2）syms x limit(1-cos(x)/(x*sin(x),x,0) 运行结果： ans = 1/2,第1章函数与极限-验证性实验,实验三 复合函数与反函数【实验目的】 1.了解简单函数与复合函数的关系，理解能构成复合函数的条件，掌握如何求几个函数的复合函数 2.掌握函数的反函数概念，会求函数的反函数 【实验要求】 熟悉Matlab中求复合函数的命令compose,以及求反函数的命令 finverse,第1章函数与极限-验证性实验,
5、【实验内容】 1求下列函数的复合函数 (1) ，求【实验过程】 1.（1）syms x y f=1/(1+x2); g=sin(y); compose(f,g) 运行结果： ans = 1/(sin(y)2+1) 由上述结果可知：,第1章函数与极限-验证性实验,2求下列函数的反函数（1） (1) syms x y=1/tan(x); g=finverse(y) 运行结果： g = atan(1/x)由上述结果可知： 的反函数为,第1章函数与极限,设计性实验实验一 数据拟合问题 实验二 复利问题,第1章函数与极限设计性实验,实验一 数据拟合问题【实验目的】 1.加深对函数基本概念的理解 2.讨论
6、了函数的实际应用问题 3.掌握Matlab软件中有关函数、画图等命令 【实验要求】 掌握函数基本知识，Matlab软件,第1章函数与极限设计性实验,【实验内容】某研究所为了研究氮肥(N)的施肥量与土豆产量的影响，做了十次实验，实验数据见表1，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示千克。试分析氮肥的施肥量与土豆产量之间的关系。,第1章函数与极限设计性实验,表1 氮肥施肥量与土豆产量关系的实验数据【实验方案】设y代表土豆产量，x代表氮肥的施肥量。显然，y和x之间应该有某种关系，假设y与x之间的关系为函数关系，则问题就转化为已知数据点(xi,yi)位置关系，寻找函数y=y(x)。这就是数据拟合问题。所
7、谓数据拟合，就是从一组实验数据点(xi,yi)出发，寻找函数y=y(x)的一个近似表达式y=f(x)(称为经验公式)。从几何上看，就是希望根据给定的这些数据点(xi,yi) ，求曲线y=y(x)的一条近似曲线y=f(x)。近似曲线y=f(x)不必过每一个数据点，但如果近似曲线的效果要好的话，那么数据点 (xi,yi)离近似曲线的距离应该尽量小。用偏差平方和函数W=,第1章函数与极限设计性实验,来刻画近似曲线的效果，偏差平方和函数越小则近似曲线的拟合效果越好，因此最好的近似曲线应该满足 。多项式函数由于性质良好，计算方便，常常用来进行数据拟合。可以考虑采用1，x，x2作为基函数来拟合这组数据(即
8、用二次多项式函数a0+a1x+a2x2作为经验公式)，此时偏差平方和函数为W=其中n为数据点的数目。要使偏差平方和函数W最小，需要,第1章函数与极限设计性实验,(该方程组称为法方程组)，将实验数据(xi,yi)代入上式，解得a0=14.7391,a1=0.1973139,a2=-0.000339492即拟合函数为y=14.7391+0.1973139x-0.000339492x2从图1-10可以看出拟合效果比较好，但是是否还可以更好呢？一般而言，拟合次数的提高可以使得拟合效果变好，但是并不是次数越高越好。现在提高拟合次数，将基函数由1，x，x2修改为1，x，x2，x3(三次拟合)，1，x，x2
9、，x3，x4(四次拟合)，得到拟合图1-5至图1-9。从图形可以看出拟合曲线的次数在二、三、四、五次拟合的效果都相差不大，但是高次拟合效果反而不理想，例如本例中的八次拟合，所以在本例中使用二次拟合效果就比较好了，拟合函数为y=14.7391+0.1973139x-0.000339492x2,第1章函数与极限设计性实验,【实验过程】 clear x=0 34 67 101 135 202 259 336 404 471; y=15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75; p=polyfit(x,y,2); disp(nu
10、m2str(p(1),*x2+,num2str(p(2),*x+,num2str(p(3); xx=linspace(0,471,100); yy=polyval(p,xx); plot(x,y,r*,xx,yy),第1章函数与极限设计性实验,运行结果：图1-5 二次拟合 图1-6 三次拟合 图1-7 四次拟合 图1-8 五次拟合,第1章函数与极限设计性实验,图1-8 八次拟合,第1章函数与极限设计性实验,实验二 复利问题【实验目的】 1.加深对函数极限概念的理解 2.讨论极限在实际问题中的应用 3.会用Matlab命令求函数极限 【实验要求】 掌握极限概念，Matlab软件求函数极限的命令l
11、imit,第1章函数与极限设计性实验,【实验内容】复利，即利滚利。不仅是一个经济问题，而且是一个古老又现代的经济社会问题。随着商品经济的发展，复利计算将日益普遍，同时复利的期限将日益变短，即不仅用年息、月息，而且用旬息、日息、半日息表示利息率。现在我们已进入电子商务时代，允许储户随时存款或取款，如果一个储户连续不断存款和取款，结算本息的频率趋于无穷大，每次结算后将本息全部存入银行，这意味着银行不断地向储户支付利息，称为连续复利问题。若银行一年活期年利率为0.06，那么储户存10万元的人民币，如果银行允许储户在一年内可任意次结算，在不计利息税的情况下，由于复利，显然这比一年结算一次要多，因为多次
12、结算增加了复利。结算越频繁，获利越大。连续复利会造成总结算额无限增大吗？随着结算次数的无限增加，一年后该储户是否会成为百万富翁？,第1章函数与极限设计性实验,【实验方案】设本金为p，年利率为r，若一年分为n期(即储户结算频率为n)，每期利率为r/n,存期为t年，依题意，第一期到期后利息为本金*利率=p*r/n第一期到期后的本利和是本金+利息=p+p*r/n=p(1+r/n),第1章函数与极限设计性实验,因规定按复利计息，故第二期开始时的本金为p(1+r/n)，第二期到期后的利息应为本金*利率= p(1+r/n)*r/n第二期到期后的本利和是本金+利息= p(1+r/n)+ p(1+r/n)*r
13、/n =p(1+r/n)2，第n期到期后的本利和是p(1+r/n)n存期为t年(事实上是有tn期)，到期后的本利和为p(1+r/n)tn随着结算次数的无限增加，即在上式中n,t=1年后本息共计10.6184(万元)随着结算次数的无限增加，一年后本息总和将稳定于10.6184万元，储户并不能通过该方法成为百万富翁。实际上，若,第1章函数与极限设计性实验,年利率为r，一年结算无限次，总结算额有一个上限，即100000*exp(r)元。它表明在n时，结果将稳定于这个值。而且用复利计息时，只要年利率不大，按季、月、天连续计算所得结果相差不大。,第1章函数与极限设计性实验,【实验过程】 syms n a
14、=limit(100000*(1+0.06/n)n,n,inf) a = 100000*exp(3/50) 一年结算无限次，总结算额有上限为 syms n r a=limit(100000*(1+r/n)n,n,inf) a = 100000*exp(r),第1章函数与极限设计性实验,思考与提高1.本世纪初，瘟疫还常在某些地区流行。现假设有这样一种传染病，任何人得病后，在传染期内不会死亡，且最初设有A人患病，每个人年平均传染率为k ,治愈率为i，若一年内等时间间隔检测n次，则一年后患病人数为多少？若检测次数无限增加，一年后传染病人数会无限增加吗？2.一条长凳被牢牢固定在地上，凳面水平。考虑若干
15、块砖在长凳一端叠成阶梯状而尽量向外延伸。一块砖放在长凳右端极端位置是砖的一半在外，但第二块砖若任放一半必会倒下。应如何放置这两块砖？n块砖呢？,理工数学实验,第2章 一元函数微分法,第2章一元函数微分法,验证性实验实验一 初等函数的导数 实验二 隐函数与参量函数的导数 实验三 函数的微分 实验四 导数的应用,第2章一元函数微分法验证性实验,实验一 初等函数的导数【实验目的】 1.熟悉基本求导公式，掌握初等函数的求导方法 2.会求函数在给定点处的导数值 【实验要求】 熟悉，Matlab中的求导命令diff,第2章一元函数微分法验证性实验,【实验内容】1.求下列函数的导数(1) (2) 【实验过程
16、】 1.（1） syms x y=exp(x)*(sin(x)+cos(x); diff(y) 运行结果： ans = exp(x)*(sin(x)+cos(x)+exp(x)*(cos(x)-sin(x)即函数的导数为,第2章一元函数微分法验证性实验,（2） syms x y=log(x3+1)/(x2+1); diff(y) 运行结果： ans = (3*x2/(x2+1)-2*(x3+1)/(x2+1)2*x)/(x3+1)*(x2+1) 即函数的导数化简得,2.求下列函数在给定点处的导数值（1）已知函数 ，求 ； 2.（1）syms x; f=1/x; f1=diff(f,x); ff
17、=inline(f1); x=1; ff(1) 运行结果： ans = -1 x=-2; ff(-2) 运行结果： ans =-0.2500,第2章一元函数微分法验证性实验,第2章一元函数微分法验证性实验,实验二 隐函数与参量函数的导数【实验目的】 1掌握隐函数求导的方法和步骤 2掌握参量函数求一阶导数和二阶导数的方法和公式 【实验要求】 熟悉Matlab中解方程的命令solve和求导命令diff,第2章一元函数微分法验证性实验,【实验内容】 1.求下列隐函数的导数(1)设 ，求 【实验过程】 1.（1）解法一： syms x y; f=solve(x2+y2-R2=0,y); diff(f,
18、x) 运行结果： ans =-1/(-x2+R2)(1/2)*x1/(-x2+R2)(1/2)*x,第2章一元函数微分法验证性实验,即 或说明：对于能从方程中求出函数显示形式的题可以采用这种做法。 解法二： syms x y R; f=x2+y2-R2; f1=diff(f,x); f2=diff(f,y); -f1/f2 运行结果： ans = -x/y即 说明：对于不能从方程中解出函数显示形式的题要采用这种做法。,第2章一元函数微分法验证性实验,2.求下列参量函数的导数（1）已知 ，求2.(1) syms t; x=t2; y=4*t; f=diff(y,t);f1=diff(x,t);
19、f2=f/f1 运行结果： f2 = 2/t即,第2章一元函数微分法验证性实验,实验三 函数的微分【实验目的】 1.懂得函数的求导与微分的关系 2.会求函数的导数和微分 【实验要求】 熟悉Matlab中的求导命令diff，赋值命令inline.,第2章一元函数微分法验证性实验,【实验内容】 1.求下列函数的微分（1） ; 【实验过程】 1.（1） syms x; f=log(sin(x); f1=diff(f,x) 运行结果： f1 = cos(x)/sin(x) 即：,第2章一元函数微分法验证性实验,实验四 导数的应用【实验目的】 1.会写函数的Taylor公式和Maclaurin公式 2.
20、掌握求函数的极值和最值的方法 3.懂得一点处导数的几何意义 【实验要求】 熟悉Matlab中求Taylor展开式的命令taylor，以及求极值的方法,第2章一元函数微分法验证性实验,【实验内容】 1.求函数的Taylor展开式，并在同一坐标系下画出函数及函数 展开式的图形（1）将函数 在 处展开到第5项； 【实验过程】 1.（1） syms x;f=sin(x); y=taylor(f,pi/2,6) 运行结果： y = 1-1/2*(x-1/2*pi)2+1/24*(x-1/2*pi)4,再画出函数与展开式的图形： x=linspace(-2,2,60); f=sin(x); y=1-1/2
21、*(x-1/2*pi).2+1/24*(x-1/2*pi).4; plot(x,f,x,y) 运行结果：图2-1 函数 与其Taylor展开式对比图,第2章一元函数微分法验证性实验,第2章一元函数微分法验证性实验,2. 求函数 的极值; 2. syms x; y=2*x3-3*x2; f1=diff(y,x); f1=diff(y) 运行结果： f1 = 6*x2-6*x x0=solve(f1),第2章一元函数微分法验证性实验,运行结果： x0 =01 f2=diff(f1,x) 运行结果： f2 = 12*x-6 ff=inline(f2) ff(x0) 运行结果： ans =-66 由此
22、可知：函数在点处二阶导数为-6，所以0为极大值；函数在点处二阶导数为6，所以-1为极小值。,3.求圆过点（2，1）的切线方程。 syms x y; f=(x-1)2+(y+3)2-17; f1=diff(f,x); f1=diff(f,x);f2=diff(f,y); ff=-f1/f2 运行结果： ff = (-2*x+2)/(2*y+6) f3=inline(ff)； f3(2,1) 运行结果： ans =-0.2500 所以切线方程为,第2章一元函数微分法验证性实验,第2章一元函数微分法,设计性实验实验一 最优价格问题 实验二 效果最佳问题 实验三 相关变化率,第2章一元函数微分法设计性
23、实验,实验一 最优价格问题【实验目的】 1.加深对微分求导，函数极值等基本概念的理解 2.讨论微分学中的实际应用问题 3.会用Matlab命令求函数极值 【实验要求】 掌握函数极值概念，Matlab软件中有关求导命令diff,第2章一元函数微分法设计性实验,【实验内容】某房地产公司拥有100套公寓当每套公寓的月租金为1000元时，公寓全部租出。当月租金每增加25元时，公寓就会少租出一套。1.请你为公司的月租金定价，使得公司的收益最大，并检验结论2.若租出去的公寓每月每套平均花费20元维护费，又应该如何定价出租，才能使公司收益最大 【实验方案】1.方法一：设每套公寓月租金在1000元基础上再提高
24、x元，每套租出公寓实际月收入为( )元，共租出( )套。,第2章一元函数微分法设计性实验,收益 R(X )= ( )( ) (02500)R( x)= 令R(x)=0，解得驻点=750。 R(x)= 0，故R(x)在=750处取得极大值。在0,2500上只有一个驻点，故R（x）在=750处取最大值。即每套公寓的月租金为1750元时，才能使公司收益最大。检验：x=1750元，少租出 =30套，实际租出70套，公司有租金收入1750*70=122500元。比100套全部租出时公司租金收入1000*100=100000元多22500元。方法二：设每套公寓月租金为x元，少租出 套，实际租出,第2章一元
25、函数微分法设计性实验,套收益 R(x)= x( ) (10003500)R(x)=令R(x)=0，解得驻点=1750(每套公寓租金)检验讨论如方法一。2.设每套公寓月租金在1000元再提高元，每套租出公寓实际月租金收入是(1000+x-20)元，共租出 套收益 R(x)= ( )( ) (0x2500) R(x)=+(980+x)( ),令R(x)=0，解得驻点x=760。R(x)= f=inline(-(1000+x)*(100-x/25) x=-f(a) f =Inline function:f(x) = -(1000+x)*(100-x/25) a =750 x =122500,第2章一
26、元函数微分法设计性实验,方法二 f=inline(-x*(100-(x-1000)/25) a=fminbnd(f,1000,3500)x=-f(a) f =Inline function:f(x) = -x*(100-(x-1000)/25) a =1750 x =122500 (2) f=inline(-(980+x)*(100-x/25)a=fminbnd(f,0,2500) f =Inline function:f(x) = -(980+x)*(100-x/25) a =760,第2章一元函数微分法设计性实验,第2章一元函数微分法设计性实验,实验二 效果最佳问题 【实验目的】 1.利用
27、积分概念、函数最大值(最小值)理论，解决实际最优化问题 2.掌握符号求导的实际应用 3.熟悉Matlab命令求函数积分，解代数方程 【实验要求】 掌握函数最大值(最小值)理论，Matlab软件求导命令、解方程的命令,第2章一元函数微分法设计性实验,【实验内容】洗过的衣服含有洗衣粉残液，现用总量为A m3的清水漂洗，漂洗一遍再甩干后衣服上有a m3的洗衣粉残液。若规定漂洗两遍，问如何分配水两次的用水量，才能使漂洗效果最佳？ 【实验方案】设第一次用水量为x m3，则第二次用水量为(A-x) m3。并设漂洗前衣服上含有的 m3的洗衣粉残液中洗衣粉占b m3.第一次加水后，水中洗衣粉所占百分比为 ，将
28、水放掉甩干后，残液中洗衣粉含量为 第二次加水后，水中洗衣粉所占百分比为,第2章一元函数微分法设计性实验,将水放掉甩干后，残液中洗衣粉含量为两次漂洗后效果最佳就是漂洗后残液中洗衣粉含量最小，为此只要求g(x)=(a+x)(a+A-x) (0xA)的最大值。g(x)=(a+A-x)-(a+x)=A-2x令g(x)=0解得 因g(x)=-20，故g( )=( a+ )2为最大。 因此，将A m3的清水平分为两次使用可使漂洗效果最佳。,第2章一元函数微分法设计性实验,【实验过程】 syms x a A f=(a+x)*(a+A-x); b=diff(f,x); solve(b) ans = 1/2*A
29、,第2章一元函数微分法设计性实验,实验三 相关变化率 【实验目的】 1.加深对复合函数、相关变化率的理解 2.通过实例学习用微分知识解决实际问题 3.熟悉Matlab命令求复合函数，符号函数求微分 【实验要求】 掌握复合函数求微分、相关变化率应用，熟练应用Matlab软 件中求复合函数，符号函数求微分命令,第2章一元函数微分法设计性实验,【实验内容】有一个长度为5m的梯子贴靠在垂直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速率离开墙脚而滑动，求1.当其下端离开墙脚1.4m时，梯子的上端下滑之速率为多少？2.何时梯子的上下端能以相同的速率移动？3.何时其上端下滑之速率为4m/s？ 【实验方案】设t=0
30、时，梯子贴靠在墙上，在时刻t（秒）时，梯子上端离t=0时位置的距离为S米，梯子下端离开墙脚的距离为x米，则有x=3t，S=5- (见图2-2),第2章一元函数微分法设计性实验,图2-3 位置示意图1.梯子的上端下滑之速率当x=1.4m时， 2.梯子上、下端相同速率处， 即解得x2= ， （舍去），即当梯子下,第2章一元函数微分法设计性实验,下端离开墙脚的距离是3.54m时，梯子的上、下端的相同的速率移动.3. 解得 x=4，-4（舍去）.即当梯子下端离墙脚4m时,其上端下滑之速度为4m/s.,【实验过程】 (1) syms x t f=5-sqrt(52-x2); x=3*t; a=compo
31、se(f,x); c=diff(a,t); b=subs(c,t,x/3); d=subs(b,x,1.4); numeric(d) ans =0.8750 (2) syms x a=solve(3*x)/sqrt(25-x2)-3,x) a = 5/2*2(1/2) (3) syms x a=solve(3*x)/sqrt(25-x2)-4,x) a = 4,第2章一元函数微分法设计性实验,第2章一元函数微分法设计性实验,思考与提高1.工厂A到铁路的垂直距离为3公里，垂足B到火车站C为5公里，汽车运费20元/吨公里，铁路运费15元/吨公里，为使运费最省，在M点建一转运站，且M在铁路BC间，问
32、M应建在何处?2.一幢楼房的后面是一个很大的花园，在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室伸入花园宽2m，高3m，温室正上方是楼房的窗台清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子太短不行，现有一架7m长的梯子，问：它能达到要求吗?3.某商店每年销售某种商品a件，每次购进的手续费b元，而每件的库存费为c元。在该商品均匀销售情况下，商店应分几批购进商品才能使所花手续费及库存费之和为最小？,理工数学实验,第3章 一元函数积分法,第3章一元函数积分法,验证性实验实验一 不定积分 实验二 定积分 实验三 定积分的应用,第3章一元函数积分法验
33、证性实验,实验一 不定积分 【实验目的】 1.掌握求函数的原函数的方法 2.熟悉基本积分公式和积分方法 【实验要求】 掌握Matlab中积分命令int,第3章一元函数积分法验证性实验,【实验内容】求下列函数的一个原函数(1) (2)【实验过程】 1.（1） syms x; f=1/x4; int(f,x) 运行结果： ans = -1/3/x3即函数 的一个原函数为 .,第3章一元函数积分法验证性实验,（2） syms x; f=exp(x)/(1+exp(x); int(f,x) 运行结果： ans = log(1+exp(x)即函数 的一个原函数为 .,第3章一元函数积分法验证性实验,实验
34、二 定积分【实验目的】 1.掌握求函数定积分的方法 2.会求变上限函数的导数和带有变上限函数的极限 【实验要求】 熟悉Matlab中求定积分的命令,第3章一元函数积分法验证性实验,【实验内容】 1.求下列定积分（1） ; 【实验过程】 1.（1） syms x; f=sqrt(1-x2); int(f,x,0,1) 运行结果： ans = 1/4*pi,第3章一元函数积分法验证性实验,2.求变上限函数的导数 （1） ; 2.（1） syms t x; y=sin(t)/t; diff(int(y,t,0,x),x) 运行结果： ans = sin(x)/x即,第3章一元函数积分法验证性实验,3
35、.求下列极限 （1） ; 3.（1） syms x t; f=cos(t2); int(f,t,sin(x),0); f1=diff(int(f,t,sin(x),0),x) f2=f1/1 limit(f2) 运行结果： ans = -1,第3章一元函数积分法验证性实验,实验三 定积分的应用 【实验目的】 1.熟悉不定积分、定积分的求解过程 2.会求变上限函数的导数 3.掌握用定积分求平面图形面积、立体体积、曲线弧长以及 立体侧面积等应用 【实验要求】 掌握Matlab中求定积分的命令,第3章一元函数积分法验证性实验,1.求由抛物线 与 所围图形的面积A； 【实验过程】 1.第一步：画出积分
36、区域的图形： y=linspace(-1,1,60); x1=5*y.2;x2=1+y.2; plot(x1,y,x2,y) 运行结果：图3-1 抛物线 与 所围图形,第3章一元函数积分法验证性实验,第二步：先观察曲线，再计算面积 syms y f=(1+y2)-5*y2; A=int(f,y,-0.5,0.5) 运行结果： A = 2/3 即所求平面图形的面积为2/3。,第3章一元函数积分法验证性实验,2.求 与 所围图形绕轴旋转所成的旋转体的体积； 2.第一步：画出两曲线所围图形 x=linspace(-0.5,1.5,60); y1=x.2;y2=x.3; plot(x,y1,x,y2)
37、 运行结果：图3-2 函数 与 所围图形,第3章一元函数积分法验证性实验,第二步：观察图形，求旋转体体积 syms x; f=x4-x6; V=int(f,x,0,1) 运行结果： V = 2/35*pi即所求旋转体的体积为 .,第3章一元函数积分法,设计性实验实验一 树的高度问题 实验二 还款问题 实验三 生日蛋糕问题,第3章一元函数积分法设计性实验,实验一 树的高度问题 【实验目的】 1.加深对积分概念的理解 2.使用积分理论解决实际问题 3.熟悉Matlab命令求不定积分，解数值方程 【实验要求】 掌握积分概念，Matlab软件中求不定积分命令,第3章一元函数积分法设计性实验,【实验内容
38、】有一种快速生长的树，为了衡量它是否有种植的经济价值（如作为木柴），人们要求该树在5年内（t=6，在种植时已生长一年）至少生长6m，如果树的生长速度为1.2+5t-4(m/年)，其中t为年数.若种植时（t=1），树已有1m高，试问种植此树是否有经济价值。,第3章一元函数积分法设计性实验,【实验方案】 树的高度，由题意可得将t1代入，得得即种植树5年后，树高8.66m，比种植时的1m长高了7.66m，超 过至少生长6m的要求，种植此树有经济价值。,第3章一元函数积分法设计性实验,【实验过程】 syms t f=int(1.2+5*t(-4) f = 6/5*t-5/3/t3 clear syms
39、 c c=solve(1.2-5/3+c-1,c) c = 1.4666666666666666666666666666667,第3章一元函数积分法设计性实验,实验二 还款问题【实验目的】 1.加深了解一元函数积分法 2.定积分在经济数学中的实际应用 3.熟悉Matlab命令求定积分，解一元数值方程 【实验要求】 掌握定积分概念，Matlab软件求定积分,第3章一元函数积分法设计性实验,【实验内容】现购买一栋别墅价值300万元，若首付50万元，以后分期付款，每年付款数目相同。10年付清，年利率为6%，按连续复利计算，问每年应付款多少？,第3章一元函数积分法设计性实验,【实验方案】每年付款数目相
40、同，共10年，这是均匀现金流，付款总值的现在值等于现价扣去首付。这类问题属于贴现问题，若第t年还款为万元，则第t年还款的贴现值为 ，n年的贴现值为 依题意：设每年付款A万元，则第t年付款的现在值，由连续贴现公式应为A ，因付款流总值为250万元，即有得A=33.2447（万元），故每年应付款33.2447万元。,第3章一元函数积分法设计性实验,【实验过程】 clear syms t A a=int(A*exp(-0.06*t),0,10) a = -50/3*A*exp(-3/5)+50/3*A b=solve(-50/3*A*exp(-3/5)+50/3*A-250,A) b = -15/(
41、exp(-3/5)-1),第3章一元函数积分法设计性实验,实验三 生日蛋糕问题【实验目的】 1.应用数值积分方法，加深对积分概念的理解 2.通过实例学习用数值积分知识解决面积、体积计算等实际应 用问题 3.学习使用Matlab软件中有关积分计算的命令 【实验要求】 掌握积分概念，Matlab软件中有关积分计算的命令,第3章一元函数积分法设计性实验,【实验内容】一个数学家即将要迎来他九十岁生日，有很多的学生要来为他祝寿，所以要定做一个特大蛋糕。为了纪念他提出的一项重要成果口腔医学的悬链线模型，他的弟子要求蛋糕店的老板将蛋糕边缘圆盘半径做成下列悬链线函： r= 2-(exp(2h)+exp(-2h
42、)/5， 0h1(单位m),第3章一元函数积分法设计性实验,由于蛋糕店从来没有做过这么大的蛋糕，蛋糕店的老板必须要计算一下成本。这主要涉及两个问题的计算：一个是蛋糕的质量，由此可以确定需要多少鸡蛋和面粉；另一个是蛋糕表面积(底面除外)，由此确定需要多少奶油。 【实验方案】首先分析一个圆盘形的单层蛋糕，如图所示，图3-4 单层蛋糕绕水平中心轴旋转而成，若高为(m)，半径为r(m)，密度为(kg/m3)，则蛋糕的质量(kg)和表面积(m2)为,第3章一元函数积分法设计性实验,如果蛋糕是双层圆盘的，如图所示：图3-5 双层蛋糕绕水平中心轴旋转而成，每层高为H/2，下层蛋糕半径为r1，上层蛋糕半径为r
43、2，此时蛋糕的质量和表面积为以此类推，如果蛋糕是n层的，图3-6 多层蛋糕,第3章一元函数积分法设计性实验,每层高为H/n，半径分别为r1，r2，rn，则蛋糕的质量和表面积为事实上，蛋糕边缘圆盘半径(0h1) 那么当n，H=1时此时，数学家的生日蛋糕问题就转化为求上面两个数值积分。,第3章一元函数积分法设计性实验,【实验过程】 syms h r=2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5; quadl(pi*(2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5).2,0,1) ans =5.4171 r0=subs(r,h,0) r0 =1.6000 quadl(2*pi*(2-(exp(2*
44、h)+exp(-2*h)/5),0,1)+pi*r02 ans =16.0512 求得该数学家的生日大蛋糕的质量和表面积为W =5.4171 (kg)，S=16.0512(m2),第3章一元函数积分法设计性实验,思考与提高1.某游乐场新建一个鱼塘，在钓鱼季节来临之际前将鱼放入鱼塘，鱼塘的平均深度为6m，开始计划时每3m3有一条鱼，并在钓鱼季节结束时所剩的鱼是开始的25，如果一张钓鱼证可以钓鱼20条，试问：最多可以卖出多少钓鱼证？鱼塘的平面图如图：图3-7 鱼塘平面示意图,第3章一元函数积分法设计性实验,2.某旅游景点准备在两个山顶间设置一缆车索道，已知两山顶间相距200m。为施工方便，在两山顶
45、中间依山势建有一个塔，塔顶与两山顶等高等距离。现在塔顶与山顶间悬挂索道，允许索道在中间下垂10m，且两部分下垂部分一致。请计算在这两个山顶间所用索道长度。3.在钢线碳含量对于电阻的效应的研究中，得到以下数据：试求其线性拟合曲线，并估计在碳含量的这一改变过程中对电阻产生的总效应,理工数学实验,第4章 空间解析几何,第4章空间解析几何,验证性实验实验一 空间曲线 实验二 二次曲面,第4章空间解析几何验证性实验,实验一 空间曲线【实验目的】 1进一步理解空间解析几何的应用 2学习用Matlab绘制的空间的曲线 【实验要求】 熟悉Matlab图形命令plot3,第4章空间解析几何验证性实验,【实验内容
46、】1画出螺旋线 与空间曲线【实验过程】 t=0:pi/50:10*pi; x=sin(t); y=cos(t); z=t; subplot(1,2,1); plot3(x,y,z,) 运行结果：,第4章空间解析几何验证性实验,图4-1 螺旋线 t=0.1:0.01:1.5 x=cos(t); y=sin(t); z=1/t; subplot(1,2,2); plot3(x,y,z,)运行结果：,第4章空间解析几何验证性实验,图4-2 空间曲线,第4章空间解析几何验证性实验,2绘制曲线2.首先我们把方程组变化成以下形式：于是输入：t=0:0.01:1x=t;y=sqrt(t.*(1-t);z=sqrt(1-x.2-y.2);plot3(x,y,z),第4章空间解析几何验证性实验,运行结果：图4-3 空间曲线,第4章空间解析几何验证性实验,实验二 二次曲面【实验目的】 1进一步理解空间解析几何的应用 2学习用Matlab绘制的空间的曲面 【实验要求】 熟悉Matlab中图形命令mesh，meshc，meshz等,
