1、1,第2章 插 值 法,第1节 引言 第2节 拉格朗日插值 第3节 均差与牛顿插值多项式 第4节 埃尔米特插值 第5节 分段低次插值 第6节 三次样条插值,2,2.1 引 言,（1.1）,设函数 在区间 上有定义，且已知在点上的值 ，若存在一简 单函数 ，使,成立，就称 为 的插值函数，点 称为插值节点，包含节点的区间 称为插值区间，求插值函数的方法称为插值法.,2.1.1 插值问题的提出,3,（1.2）,若 是次数不超过 的代数多项式，,其中 为实数，就称 为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值.,本章只讨论多项式插值与分段插值.,若 为分段的多项式，就称为分段插值.,若 为三角多项式 ，
2、就称为三角插值.,即,4,从几何上看，插值法就是确定曲线 ，使其通过 给定的 个点 ，并用它近似已知曲线 .,图2-1,见图2-1.,5,由此可以得到关于系数 的 元线性方程组,上的函数值 ,求次数不超过 的多项式，使,2.1.2 多项式插值,（1.3）,设在区间 上给定 个点,6,（1.4）,此方程组的系数矩阵为,称为范德蒙德（Vandermonde）矩阵,由于 互异，故,（1.5）,7,因此线性方程组（1.4）的解 存在且唯一.,定理1 满足条件（1.3）的插值多项式 是存在唯一的.,8,2.2.1 线性插值与抛物插值,对给定的插值点，可以用多种不同的方法求得形如(1.2)的插值多项式.,
3、先讨论 的简单情形.,问题：,给定区间 及端点函数值 ，,要求线性插值多项式 ，,2.2 拉格朗日插值,使它满足,9,其几何意义就是通过两点 的直线.,图2-2,如图2-2.,10,由 的几何意义可得到表达式,（点斜式），,由两点式看出， 是由两个线性函数,（2.2）,的线性组合得到，其系数分别为 及 ，即,（2.3）,11,称 及 为线性插值基函数，,图形见图2-3.,12,图2-3,13,下面讨论 的情形.,假定插值节点为 ， ， ，要求二次插值多项式,几何上 是通过三点 的抛物线.,可以用基函数的方法求 的表达式，此时基函数是二次函数，且在节点上满足条件,（2.4）,使它满足,14,接下
4、来讨论满足（2.4）的插值基函数的求法，,以求 为例，,由插值条件，它应有两个零点 及 ，,可由插值条件 定出,其中 为待定系数，,于是,可表示为,15,同理,二次插值基函数 ， ， 在区间 上的 图形见图2-4.,16,图2-4,17,利用 ， ， ，,（2.5）,显然，,将 , ， 代入 (2.5) ,立即得到二次插值多项式,它满足条件,得,18,2.2.2 拉格朗日插值多项式,将前面的方法推广到一般情形，讨论如何构造通过个节点 的 次插值多项式 .,（2.6）,根据插值的定义 应满足,先定义 次插值基函数.,为构造 ，,19,定义1 若 次多项式 在 个节点 上满足条件,（2.7）,20
5、,显然它满足条件（2.7）.,于是，满足条件（2.6）的插值多项式 可表示为,（2.9）,（2.8）,与前面的推导类似， 次插值基函数为,21,由 的定义，知,形如（2.9）的插值多项式 称为拉格朗日插值多项式，,而(2.3)与(2.5)是 和 的特殊情形.,容易求得,（2.10）,若引入记号,22,于是公式（2.9）可改写成,（2.11）,注意: 次插值多项式 通常是次数为 的多项式，,特殊情况下次数可能小于 .,例如通过三点 的二次插值多项式，如果三点共线，则 就是一条直线，而不是 抛物线，这时 是一次多项式.,23,定理2 设 在 上连续， 在 内 存在，节点 是满足条件(2.6) 的插
6、值多项式，则对任何 ，插值余项,2.2.3 插值余项与误差估计,这里 且依赖于 ， 是（2.10）所定义的.,（2.14）,24,证明 由给定条件知 在节点 上为零，即 ，于是,其中 是与 有关的待定函数.,（2.13）,现把 看成 上的一个固定点，作函数,根据 的假设可知 在 上连续， 在 内存在.,25,根据罗尔定理， 在 的两个零点间至少有一个零点， 故 在 内至少有 个零点.,对 再应用罗尔定理，可知 在 内至少有个零点.,依此类推， 在 内至少有一个零点，记为，使,26,于是,将它代入（2.13），,余项表达式只有在 的高阶导数存在时才能应用.,但 在 内的具体位置通常不可能给出，,
7、如果可以求出 那么插值多项式 逼近 的截断误差限是,（2.14）,且依赖于,就得到余项表达式（2.12）.,27,当 时，线性插值余项为,（2.15）,当 时，抛物插值余项为,（2.16）,28,利用余项表达式（2.12），当 时，由于 ,于是有,由此得,（2.17）,特别当 时，有,（2.18）,29,利用余项表达式（2.12）还可知，若被插函数 由于 ，故 ，即它的插值多项式,30,例1 证明 ，其中 是关于点的插值基函数.,证明 利用公式（2.17）可得,31,用线性插值计算，取 由公式（2.1）,例2,已知,解 由题意, 取,32,33,由（2.15）,其截断误差,其中,于是,34,用
8、抛物插值计算，由公式（2.5）得,35,由（2.14）,其中,于是,这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样，,这说明查表时用二次插值精度已相当高了.,截断误差限,36,37,例2 设 ，试证,其中,证明 通过两点 及 的线性插值为,于是,38,2.3 均差与牛顿插值公式,2.3.1 插值多项式的逐次生成,利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公 式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减 时全部插值基函数 均要随之变化，整个 公式也将发生变化，甚为不便.为了计算方便可重新设计一 种逐次生成插值多项式的方法.,39,当 时，记线性插值多项式为 ，插值条件为,由点斜式,将 看成是
9、零次插值 的修正，即,其中 是函数 的差商.,对于三个节点的二次插值 ，插值条件为,40,插值多项式,显然,由 得,系数 是函数 的“差商的差商”.,41,一般情况，已知 在插值点 上的值为 ，要求 次插值多项式 满足条件,则 可表示为,其中 为待定系数，可由插值条件确定.,这里的 是由基函数 逐次递推得到的，这一点与拉格朗日插值不同.,（3.1）,（3.2）,42,称 为函数 关于点 的一阶均差.,定义2,2.3.2 均差及其性质,称为 的二阶均差.,43,（3.3）,一般地，称,为 的 阶均差,（均差也称为差商）.,44,均差有如下的基本性质：,（3.4）,这个性质可用归纳法证明.,（1）
10、 阶均差可表为函数值 的线 性组合，,这性质也表明均差与节点的排列次序无关，称为均差 的对称性.,即,45,（3） 若 在 上存在 阶导数，且节点,（3.5）,这公式可直接用罗尔定理证明.,（2） 由性质（1）及（3.3）可得,即,则 阶均差与导数关系如下：,（3.3）,46,均差计算可列均差表如下（表2-1）.,47,2.3.3 牛顿插值公式,根据均差定义，一次插值多项式为,二次插值多项式为,48,根据均差定义，把 看成 上一点，,可得,49,只要把后一式依次代入前一式，就得到,其中,（3.6）,50,（3.7）,是由（2.10）定义的.,显然，由（3.6）确定的多项式 满足插值条件，,且次
11、数不超过 ，,称 为牛顿（Newton）均差插值多项式.,系数 就是均差表2-1中加横线的各阶均差，它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计.,其系数为,它就是形如（3.1）的多项式，,51,但（3.7）更有一般性，它在 是由离散点给出的情形或 导数不存在时也是适用的.,（3.7）为插值余项，由插值多项式唯一性知，它与 拉格朗日插值多项式的余项应该是等价的.,事实上，利用均差与导数关系式就可以证明这一点.,牛顿插值多项式的优点还在于它的递进性，当增加 插值节点时，只要在原来插值多项式的基础上增加一项 即可.,52,首先根据给定函数表造出均差表.,给出 的函数表（见表2-2），求4次牛顿插 值多
12、项式，并由此计算 的近似值.,例4,53,从均差表看到4阶均差近似常数，5阶均差近似为0.,故取4次插值多项式 做近似即可.,于是,按牛顿插值公式，将数据代入,54,截断误差,这说明截断误差很小，可忽略不计.,55,2.3.4 差分形式的牛顿插值公式,实际应用时经常遇到等距节点，即 的情形，这里 为常数，称为步长， 这时插值公式可以进一步 简化，计算也简单得多.,设 点的函数值为 ，称 为 处以 为步长的一阶（向前）差分.,类似地称 为 处的二阶差分.,一般地称,为 处的 阶差分.,（3.8）,56,为了表示方便，再引入两个常用算子符号,称为不变算子 ， 称为步长为 的移位算子，由此,（3.9
13、）,其中 为二项式展开系数，（3.9） 说明各阶差分均可由函数值给出.,57,反之，由,可得,（3.10）,从而有均差与差分的关系：,58,（3.11）,一般地有,由（3.11）和（3.5）又可得到差分与导数的关系：,（3.12）,其中 .,59,由给定函数表计算差分可由以下形式差分表给出.,60,在牛顿插值公式（3.6）中，用（3.11）的差分代替均差， 并令 ，则得,（3.13）,（3.14）,（3.13）称为牛顿前插公式，由（3.7）式得其余项为,61,给出 在,处的函数值，试用4次牛顿前插公式计算 的近似值并估计误差.,例5,解 为使用牛顿插值公式，先构造差分表.,62,取,则,得,6
14、3,由（3.14）可得误差估计,其中,64,2.4 埃尔米特插值,有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，,满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式.,而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等.,65,关于均差，有,2.4.1 重节点均差与泰勒插值,定理3 设 为 上的相异节点，则 是其变量的连续函数.,如果 上的节点互异，根据差商定义，若 则有,由此定义重节点均差,66,类似地可定义重节点的二阶均差，当 时，有,当 时，有,一般地，可定义 阶重节点的均差，由（3.5）得,（4.1）,67,在牛顿均差插值多项式中若令 则由（4.1）可得泰勒多项式,（4.2）,这实际上是
15、在点 附近逼近 的一个带导数的插值多项式，它满足条件,（4.3）,（4.2）称为泰勒插值多项式，它就是一个埃尔米特插值多项式，余项为,68,（4.4）,它与插值余项（2.12）中令 的结果是一致的.,泰勒插值是牛顿插值的极限形式，是只在一点 给出 个插值条件所得到的 次埃尔米特插值多项式.,一般地只要给出 个插值条件（包括函数和导数值）就可以构造出次数不超过 次的埃尔米特多项式.,69,由给定的4个条件，可确定次数不超过3的插值多项式.,由于此多项式通过点,考虑满足条件 及 的插值多项式及其余项表达式.,故其形式为,2.4.2 两个典型的埃尔米特插值,70,待定常数 ，可由条件 确定，,其中
16、为待定函数.,为了求出余项 的表达式，,通过计算可得,可设,71,显然,故 在 内有5个零点（二重根算两个）.,反复应用罗尔定理，得 在 内至少有一个 零点，,构造,且,故有,72,(4.5),式中 位于 和 所界定的范围内.,余项表达式为,于是,73,例6 给定 试求 在 上的三次埃尔米特插值多项式 ，使它满足 并写出余项表达式.,解 由所给节点可求出,为了构造牛顿均差插值，先构造均差表,74,于是有,令,再由条件 ，可得,75,解出,于是所求的三次埃尔米特多项式为,76,余项,77,其中 是关于节点 及 的三次埃尔米特插值基函数，分别满足,另一个典型例子是两点三次埃尔米特插值，插值节点取为
17、 及 ，插值多项式为 ，插值条件为,(4.7),采用基函数的方法，令,(4.6),78,79,根据给定条件可令,显然,再利用,及,80,解得,于是求得,同理可得,(4.8),(4.9),81,为求 ，由给定条件可令,直接由 ，得到,(4.10),同理,(4.11),82,最后代入，得,(4.12),83,余项 ，类似（4.5）可得,(4.13),84,2.5 分段低次插值,2.5.1 高次插值的病态性质,这是因为对任意的插值节点，当 时， 不 一定收敛到 .,在次数 增加时逼近 的精度不一定也增加.,根据区间 上给出的节点做出的插值多项式,85,所构造的拉格朗日插值多项式为,以 上的 个等距节
18、点,考虑函数 ，它在 上的各阶导数均 存在.,令,则,86,87,可见，随 的增加， 的绝对值几乎成倍增加.,这说明当 时 在 上是不收敛的.,88,图2-5,89,通常不用高次插值，而用分段低次插值.,90,下图是用Matlab完成的Lagrange插值（附程序）：,91,附：Lagrange插值程序,n=11; m=61; x= -5:10/(m-1):5; y=1./(1+x.2); z=0*x; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.2); y1=lagr1(x0, y0, x); plot(x, z, r, x, y, k: ,x, y1, r) gtext(L
19、agr.), gtext(y=1/(1+x2) title(Lagrange),92,附：Lagrange插值子程序 lagr1:,function y=lagr1(x0,y0,x) n=length(x0); m=length(x); for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif j=kp=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j);endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s; end,93,2.5.2 分段线性插值,所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来 逼近,由于升高插值多项式的阶数有时并不能达到提高精度 的效果
20、, 所以实际中往往采用分段插值的思想.,分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干个小区间, 然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值.,94,设已知节点 上的函数值,记,求一折线函数 ,满足：,在每个小区间 上是线性函数.,则称 为分段线性插值函数.,95,由定义可知 在每个小区间 上可表示为,(5.1),分段线性插值的误差可利用插值余项（2.15）得到,或写成,(5.2),其中,96,由此还可以得到,故 在 上一致收敛到 .,在 上一致成立，,97,下图是用Matlab完成的分段线性插值（附程序）：,98,附：分段线性插值程序,n=11; m=61; x=-5:10/(m-1):5; y=
21、1./(1+x.2); z=0*x; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.2); y1=interp1(x0, y0, x); plot(x, z, r, x, y, k:, x, y1, r) gtext(Piece. linear.), gtext(y=1/(1+x2) title(Piecewise Linear),注：interp1(x0,y0,x)为Matlab中现成的分段线性插值程序.,99,2.5.3 分段三次埃尔米特插值,分段线性插值函数 的导数是间断的，若在节点上除已知函数值 外还给出导数值就可以构造出一个导数连续的分段 插值函数 ，满足条件,在每个小
22、区间 上是三次多项式.,100,上式对于 成立.,根据两点三次埃尔米特插值插值多项式（4.12），,在区间 上的表达式为,(5.3),101,定理3 设 为 在节点上的分段三次埃尔米特插值多项式，则有,利用三次埃尔米特插值的余项（4.13），可得误差估计,于是有,其中,102,2.6 三次样条插值,103,定义3 若函数 且在每个小区间 上是三次多项式，其中 是给定节点， 则称 是节点 上的三次样条函数.,2.6.1 三次样条函数,若在节点 上给定函数值 并成立,（6.1）,则称 为三次样条插值函数.,104,由于 在每个小区间 上有4个待定系数， 共有 个小区间，所以共有 个待定参数.,这些
23、共有 个条件，再加上 本身还要满足的 个插值条件，共有 个条件，还需要2个才能确定 .,（6.2）,105,通常可在区间 端点 上各加一个条件,1. 已知两端的一阶导数值，即,（6.3）,（6.4）称为自然边界条件.,2. 已知两端的二阶导数，即,其特殊情况为,（6.4）,（6.4）,常见的边界条件有以下3种：,（称为边界条件），,106,此时插值条件（6.1）中 .,这样确定的样条函数 称为周期样条函数.,这时边界条件应满足,（6.5）,107,2.6.2 样条插值函数的建立,下面利用 的二阶导数值 表示 .,（6.7）,对 积分两次并利用 及 ，,可表示为,可定出积分常数，,于是得三次样条
24、表达式,108,这里 ，是未知的.,（6.8）,109,为了确定 ,对 求导得,（6.9）,由此可求得,110,类似地可求出 在区间 上的表达式，从而得,利用 可得,（6.10）,其中,111,（6.11）,对第一种边界条件（6.3），可导出两个方程,（6.12）,112,如果令,那么（6.10）及（6.12）可写成矩阵形式,（6.13）,113,对第二种边界条件（6.4），直接得端点方程,（6.14）,如果令 ,也可以写成（6.13）的矩阵形式.,则（6.10）和（6.14）,114,对于第三种边界条件（6.5），可得,其中,（6.15）,（6.10）和（6.15）可以写成矩阵形式,115,
25、（6.16）,（6.13）和（6.16）是关于 的三对角 方程组， 在力学上解释为细梁在 截面处的弯矩，称 为 的矩，,（6.13）和（6.16）的系数矩阵为严格对角占优阵，有 唯一解, 求解方法可见第5章第4节追赶法，将解得结果代入 （6.8）的表达式即可.,方程组（6.13）和（6.16）称为三弯矩方程.,116,试求三次样条函数 ，使它满足边界条件,例7,117,由此得矩阵形式的方程组（6.13）为,解,由（6.11）及（6.12）,118,求解得,119,代入（6.8）得,（曲线见图2-6）,120,图2-6,121,给定函数 节点,用三次样条插值求,取,直接上机计算可求出 在表2-6
26、所列各点的值.,例8,122,123,下图是用Matlab完成的样条插值（附程序）：,124,附：样条插值程序,n=11; m=61; x=-5:10/(m-1):5; y=1./(1+x.2); z=0*x; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.2); y1=interp1(x0, y0, x, spline); plot(x, z, r, x, y, k:, x, y1, r) gtext(Spline), gtext(y=1/(1+x2) title(Spline),注：interp1(x0, y0, x, spline)为Matlab中现成的样条插值程序.,125,也可以将三种插值结果画在一起：,126,2.6.3 误差界与收敛性,定理4,则有估计式,（6.17）,其中,令,127,这个定理不但给出了三次样条插值函数 的误差 估计.,
