1、第四节变系数线性微分方程的解法,-欧拉方程,欧拉方程,常系数线性微分方程,作业习题7.1(A) 11,欧拉方程的算子解法:,则,计算繁!,则由上述计算可知:,用归纳法可证,于是欧拉方程,转化为常系数线性方程:,例1.,解:,则原方程化为,亦即,其根,则对应的齐次方程的通解为,特征方程, 的通解为,换回原变量, 得原方程通解为,设特解:,代入确定系数, 得,例2.,解:,将方程化为,(欧拉方程),则方程化为,即,特征根:,设特解:,代入 解得 A = 1,所求通解为,例3.,解: 由题设得定解问题,则化为,特征根:,设特解:,代入得 A1,得通解为,利用初始条件得,故所求特解为,思考: 如何解下
2、述微分方程,提示:,原方程,直接令,第五节,微分方程的其它解法,一、一阶微分方程问题,二、二阶齐次线性微分方程问题,微分方程解法:,积分法, 只能解一些特殊类型方程,幂级数法, 本节介绍,数值解法, 计算数学内容,本节内容:,一、一阶微分方程问题,幂级数解法:,将其代入原方程, 比较同次幂系数可定常数,由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解.,设所求解为,本质上是待定系数法,例1.,解:,根据初始条件, 设所求特解为,代入原方程, 得,比较同次幂系数, 得,故所求解的幂级数前几项为,二、二阶齐次线性微分方程,定理.,则在R x R 内方程必有幂级数解:,设 P(x), Q(x) 在 (R, R ) 内可展成 x 的幂级数,(证明略),此定理在数学物理方程及特殊函数中非常有用,很多,重要的特殊函数都是根据它从微分方程中得到的.,例2.,的一个特解.,解:,设特解为,代入原方程整理得,比较系数得:,可任意取值,因是求特解, 故取,从而得,当n 4 时,因此,注意到:,此题的上述特解即为,例3.,解:,求解勒让德 (Legendre) 方程,展成幂级数,满足定理条件(因其特点不用具体展开它).,设方程的解为,代入:,整理后得:,比较系数, 得,例如:,于是得勒让德方程的通解:,上式中两个级数都在(1, 1 )内收敛,可以任意取,它们是方程的,两个线性无关特解.,
