1、自动控制理论 Automatic Control Theory讲课教师: 胡学芝联系电话:13986580819,电气与电子信息工程学院,Chapter 8 Discrete Control System,第8章 离散控制系统,本 章 简 介本章讨论线性离散控制系统的系统分析与设计方法。 提出了离散控制系统的基本概念，从而明确离散控制系统的特点和研究方法。 讨论了离散信号的数学描述，介绍了信号的采样与保持、以及z变换工具 。 建立控制系统的数学模型，介绍了离散控制系统的差分方程描述和脉冲传递函数的建立。 主要讨论离散控制系统稳定性、稳态误差以及动态性能的分析。 讨论离散控制系统的综合设计问题，
2、介绍了数值控制器的脉冲传递函数和无稳态误差最少拍系统的设计。,目 录,8.1 离散系统的基本概念 离散控制系统 离散控制系统的特点 离散控制系统的研究方法 8.2 信号的采样与保持 采样过程及其数学描述 采样定理 信号的复现与零阶保持器,目 录,8.3 z变换理论 z变换的定义 z变换方法 z变换基本定理 z反变换 8.4 离散控制系统的数学模型 差分方程 脉冲传递函数 差分方程和脉冲传递函数的关系,目 录,8.5 离散控制系统的分析 离散控制系统的稳定性 离散控制系统的稳态误差 离散控制系统的动态性能分析 8.6 离散控制系统的数字校正 数字控制器的脉冲传递函数 最少拍系统设计 8.7 应用
3、 MATLAB分析离散控制系统,离散系统的基本概念什么是连续时间函数？什么是离散时间函数？ 在控制系统中，如果所有信号都是时间变量的连续函数，换句话说，这些信号在全部时间上是已知的，则这样的系统称为连续时间系统，简称连续系统；如果控制系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码，即这些信号仅定义在离散时间上，则这样的系统称为离散时间系统，简称离散系统。 如何得到离散时间函数？离散控制系统的应用 举例说明采样控制系统和数字控制系统 ，它们统称为离散控制系统 。,8.1 离散系统的基本概念,离散控制系统的特点 由数字计算机构成的数字校正装置，比连续式校正装置好，且控制规律易于通过软件编程改变，控制功能强
4、。采样信号，特别是数字信号的传递可以有效地抑制噪声，从而显著提高了系统的抗干扰能力，同时信号传递和转换精度高。 允许采用高灵敏度的控制元件，以提高系统的控制精度。 可用一台计算机分时控制若干个系统，提高了设备的利用率，经济性好。 容易实现一些复杂的控制算法和实现“最优控制”，对于具有传输延迟，特别是大滞后的控制系统，可以引入采样的方式使之稳定。综合问题的性能指标函数可分为优化型和非优化型性能指标。,离散控制系统的研究方法 研究连续线性系统所用的方法，例如拉氏变换，传递函数和频率特性等不再适用。 通过z变换这个数学工具，可以把我们以前学习过的传递函数，频率特性，根轨迹法等概念应用于离散控制系统。
5、 z变换具有和连续系统中拉氏变换同等的作用，是研究线性离散系统的重要数学工具。 与连续系统对比，只是运用了不同的数学工具，所研究的内容范围一样。,8.2 信号的采样与保持采样过程及其数学描述 把连续信号转换成离散信号的过程叫做采样。实现采样的装置叫做采样器或采样开关。 理解单位理想脉冲序列。 采样过程及其数学描述 。,采样过程的物理意义：采样过程可以看作是单位理想脉冲串被输入信号进行幅值调制的过程。注意图8-6什么是载波信号？什么是调制信号？采样器为幅值调制器，其输出为加权单位理想脉冲序列。,采样定理 连续信号的频谱：单一的带宽有限的连续频谱。 采样信号的频谱：具有以采样角频率为周期的无穷多个
6、频谱分量 采样定理：要能从采样信号中大体上复现原有连续信号，采样频率必须满足的条件-就是采样定理，也称香农（Shannon）采样定理： （1）信号必须是频谱宽度受限的，即其频谱所含频率成分的最高频率为Wmax； （2）采样频率Ws必须至少是信号最高频率的两倍，即Ws 2Wmax。,信号的复现与零阶保持器 理想的滤波器 （图8-8虚线部分） 零阶保持器可以将采样点幅值保持至下一个采样瞬时，采样信号经零阶保持器后，变为阶梯信号 。零阶保持器是最常用、最简单的保持器。 零阶保持器的幅频 特性曲线和相频特 性曲线分析。,8.3 Z变换理论z变换的定义 z变换的由来 ：x(t)(采样)-x*(t)(L变
7、换)-X*(s)- (z=eTs替换)-X(z)连续函数x(t)进行采样得采样函数x*(t)，采样函数的拉氏变换为X*(s)，通过z=eTs变量替换把X*(s)变换成X(z)。结论： z变换即为离散函数的拉氏变换。 为什么要进行z变换？归纳总结连续系统为什么进行L变换。 采样函数的z变换是关于z的幂级数。(8-22）式中其一般项的物理意义为：e(nT)表征采样脉冲的幅值，z次幂表征采样脉冲出现的时刻。因此它既包含了量值信息e(nT) ，又包含了时间信息z-n，具有清晰的采样节拍感。,z变换方法 级数求和法-直接法：实际上是按z变换的定义将离散函数z变换展成无穷级数的形式，然后进行级数求和运算。
8、 部分分式方法：通过部分分式法将时间函数的拉氏变换式展开成一些简单的部分分式，使每一项部分分式对应的时间函数为最基本、最典型的形式，这些典型函数的z变换是已知的，于是即可方便地求出对应的z变换。 留数计算法：理解记住留数计算公式。,z变换基本定理 基本定理：线性定理、实位移定理（超前/延迟）、复位移定理、初值与终值定理、卷积定理。 正确理解与掌握基本定理，有必要自己推导证明之。 通过示例说明这些基本定理在简化z变换运算中的作用。,z反变换 为什么要进行Z反变换？t域(z变换)- z域- (z反变换)- t域 z反变换的定义 z反变换的方法幂级数展开法（长除法），部分分式法，留数计算法。 正确掌
9、握z反变换的计算，根据具体情况，采用正确的方法完成z反变换的计算。,8.4 离散控制系统的数学模型基本概念 明确什么是数学模型？ 数学模型是描述系统（或环节）的输入与输出量之间的关系。 有哪些数学模型的表示形式？差分方程、z传递函数、离散状态空间式。 为什么要建立控制系统的数学模型？ 更好的定量分析该系统？ 把实际的具体问题转化为一般问题进行研究。,差分方程 连续系统的输入和输出信号都是连续时间的函数，描述它们内在运动规律的是微分方程。 离散系统的输入和输出信号都是离散时间函数，即以脉冲序列形式表示，这种系统行为就不能再用时间的微商来描述，它的运算规律取决于前后序列数，而必须用差分方程来描述。
10、描述离散系统的数学模型就成了差分方程，它反映离散系统输入输出序列之间的运算关系。“差分是时间被采样开关离散的结果” 正确理解前向差分和后向差的概念，正确判定系统的阶次。 与微分方程求解类比，正确掌握差分方程的求解。古典法、迭代法、z变换法、状态方程法。,脉冲传递函数 在连续系统中由时域函数及其拉氏变换之间的关系所建立起的传递函数，是经典控制理论中研究系统控制性能的基础。 对于离散系统来说，通过z变换导出线性离散系统的脉冲传递函数，是研究离散系统控制的基础。 脉冲传递函数的定义 ： 如果系统的初始条件为零，输入信号r(t)，经采样后r*(t)的z变换为R(z)，连续部分输出为c(t) ，采样后c
11、*(t)的z变换为C(z) 。则离散系统的脉冲传递函数定义为在零初始条件下，系统输出采样信号的z变换与输入采样信号的z变换之比，记之为G(z)= C(z)/ R(z) 所谓零初始条件，是指在t0时输入脉冲序列各采样值，以及输出脉冲序列各采样值均为零 实际上，对于大多数离散系统的输出往往是连续信号，而不是采样信号，此时，可以在输出端虚设一个采样开关 。,开环脉冲传递函数明确开环脉冲传递函数的导出与一般计算步骤： 已知系统的传递函数G(s)，求取系统的脉冲响应函数g(t)； 对g(t)作采样，得采样信号表达式g*(t); 由z变换定义式求脉冲传递函数G(z) “z脉冲传递函数是单位脉冲响应函数g(
12、t)的z变换”。,串联环节的脉冲传递函数对于离散系统，串联环节的脉冲传递函数的求法与连续系统不完全相同，要视环节之间有无采样开关而异，必须区分不同情况来讨论。 串联环节之间有采样开关G(z)=C(z)/R(z)= G1(z) G2(z) 两个串联连续环节之间有理想采样开关隔开时的脉冲传递函数，等于这两个环节各自的脉冲传递函数之积。 串联环节之间无采样开关G(z)=C(z)/R(z)= G1G2(z) 两个串联连续环节之间无采样开关隔开时，系统的脉冲传递函数等于这两个环节传递函数乘积后相应的z变换 。,z变换无串联性由于 G1G2(z)与G1(z ) G2(z)不相等，它表明各环节传递函数的z变
13、换的乘积不等于各环节传递函数乘积的z变换 。 有零阶保持器时的开环脉冲传递函数设有零阶保持器的开环离散系统如图8-16所示。从图中可以看到输入采样后作零阶保持相当于串联环节之间没有采样开关隔离的情况。由于零阶保持器的传递函数是s的超越函数，不是s的有理分式，故不能用前面介绍的方法直接求开环脉冲传递函数。但考虑到零阶保持器的传递函数的特点，可以把它与系统环节的传递函数Gp(s)一起考虑。零阶保持器Gh(s)=(1-e-Ts)/s与系统环节Gp(s)的串联可以等效为(1-e-Ts)环节与Gp(s)/s的串联，通过利用延迟因子的性质，可求取开环系统脉冲传递函数: G(z)=(1-z-1)ZGp(s)
14、 /s,闭环系统脉冲传递函数 在连续系统中，闭环传递函数与相应的开环传递函数之间有着确定的关系，所以可用一种典型的结构图来描述一个闭环系统。而在离散系统中，由于采样开关在系统中所设置的位置不同，既有连续传递关系的结构,又有离散传递关系的结构，所以没有唯一的典型结构图，因此在讨论离散控制系统时与连续系统不同，需要增加符合离散传递关系的分析。下面列举几种典型闭环系统的脉冲传递函数 典型误差采样的闭环离散系统 图8-17是一种比较常见的误差采 样闭环离散系统结构图 ，C(z)/R(z)= G(z) /1+GH(z),具有数字校正装置的闭环离散系统图8-18为典型的具有数字校正装置的闭环离散系统。在该
15、系统的前向通道中，脉冲传递函数G1(z)代表数字校正装置，其作用与连续系统的串联校正环节相同。C(z)/R(z)= G1(z) G2(z) /1+ G1(z) HG2(z),扰动信号作用的闭环离散系统离散系统除给定输入信号外，在系统的连续信号部分尚有扰动信号输入如图8-19（a）所示，扰动对输出量的影响是衡量系统性能的一个重要指标。在这个系统中，连续的输入信号直接进入连续环节G2(s) ，在这种情况下，只能求输出信号的 z变换表达式C(z)，而求不出系统的脉冲传递函数C(z) /N(z) 。 C(z)= G2N(z) /1+ G2(z) G1(z),闭环离散系统脉冲传递函数求取的简便方法： 将
16、系统按连续系统考虑，可以得到闭环输出 C(s) ； 对C(s)表达式进行采样离散化，在采样器隔开的地方加“*”号； 把 G(s) *写成G(z) ,得输出z变换式C(z) ； 若输出能用输入的z变换式独立地表示出来，进而可得系统闭环脉冲传递函数。 通过示例说明方法的应用。 各种典型闭环离散系统及输出信号见表8-2 。,差分方程和脉冲传递函数的关系 差分方程和脉冲传递函数都是描述离散控制系统的数学模型，它们之间的关系类似于连续系统中微分方程和传递函数之间的关系； 通过z变换可以从差分方程得出脉冲传递函数，也可以从脉冲传递函数得出差分方程；如果描述线性离散系统的差分方程为：在零初始条件下，对上式进
17、行z变换，并利用z变换的实位移定理，可得：整理得：（8-78） 上式（8-78）这就是脉冲传递函数与差分方程的关系。 通过示例说明两者之间的转换。,8.5 离散控制系统的分析基本概念 什么是控制系统分析？ 明确是已知控制系统数学模型和输入作用，了解系统的性能指标； 不同的控制系统，应采用不同的输入，以及有不同的性能指标要求。 控制系统分析包括哪些内容？ 控制系统稳定性，稳定性是系统正常工作的前提； 系统动态性能分析，包括系统动态响应的模态、响应时间，振荡频率等。 控制系统的稳态精度-稳态误差分析。,离散控制系统的稳定性分析稳定性是系统正常工作的前提，线性系统稳定性总是由系统闭环特征根所决定。
18、由s平面到z平面的映射：z变量的模与幅角分别为：由此可见，s平面中的虚轴，在z平面上映射成一个以原点为中心的单位圆；s左半平面与z平面上的单位圆内部相对应；s右半平面与z平面上的单位圆外部相对应。,离散控制系统的稳定条件由s平面到z平面的映射关系，可以得到离散控制系统稳定的充分必要条件如下：如果离散控制系统闭环特征方程所有的特征根zi全部位于z平面的单位圆内部，即|zi|1 i=1,2,3,n则系统是稳定的，否则系统是不稳定。,离散控制系统稳定性代数判据怎样才能借用连续系统的稳定性代数判据？ 寻找新的变量w，使之与变量z之间有这样关系：z平面上的单位圆正好对应w平面上的虚轴；z平面上的单位圆内
19、的区域则对应w平面的左半部分；z平面上的单位圆外的区域则对应w平面的右半部分。显然z=eTw，满足上述置换关系，然而将代入z特征方程后，所的到是一个超越方程而非代数方程，这种变换没有实用价值。满足上述置换关系而又有实用价值的变换，可采用复变函数双线性变换z=(w+1)/(w-1)，即w=(z+1)/(z-1)满足要求 。 经过这样的变量变换，判断离散系统的稳定性就可利用连续系统的代数判据了。,离散控制系统的稳态误差 稳态误差 明确稳态误差的定义； 稳态误差的大小既与系统本身的结构、参数有关，又与系统输入信号类型有关。 单位反馈的离散系统如图8-24 所示，其误差信号的z变换为：离散系统的稳态误
20、差可由z变换的终值定理导出：单位阶跃输入时的稳态误差 对于单位阶跃输入 R(z(=z/(z-1),Kp称为系统的静态位置误差系数 。 根据G(z)中含有z=1的极点的个数，判定离散系统的型别。 在单位阶跃输入作用下，0型系统在采样瞬时存在位置误差；I型或I型以上的离散系统，在采样瞬时没有位置误差，这与连续系统十分相似。,单位斜坡输入时的稳态误差 Kv系统静态速度误差系数的定义 。由于单位斜坡输入时r(t)=t，所以R(z)=Tz/(z-1)2 由式（8-84）现定义静态速度误差系数则有 0型离散系统不能承受斜坡输入作用，I型离散系统在单位斜坡输入下存在速度误差， II型或II型以上的离散系统在
21、斜坡输入作用下不存在稳态误差。,单位加速度输入时的稳态误差 Ka系统静态加速度误差系数的定义 。 所以单位反馈系统，在加速度输入作用时无差的条件是中至少有三个的极点。0型及I型系统不能承受单位加速度输入作用，II型离散系统在单位加速度输入作用下存在加速度误差；只有III型或III型以上的离散系统在加速度输入作用下没有稳态位置误差。 多个输入信号作用时的稳态误差计算可采用叠加原理。 表8-3 列出了典型输入作用下的稳态误差,离散控制系统的动态性能分析 动态性能分析 明确动态性能分析的含义； 动态性能分析的一般方法。z变换分析法-求解过渡过程 已知离散系统结构和参数（已知或可求得输出表达式C(z)
22、）； 假定外作用输入是单位阶跃函数； 求取系统输出信号的脉冲序列，它代表了线性离散系统在单位阶跃输入作用下的响应过程； 最后，根据单位阶跃响应曲线可以方便地分析离散系统的动态和稳态性能，包括输出形态、响应时间、超调量、稳态误差等。,闭环极点与动态响应的关系由线性连续系统理论可知，闭环极点在s平面的分布对反馈系统的暂态响应有重大影响。与此相类似，闭环离散控制系统的暂态响应与闭环脉冲传递函数极点在z平面的分布也有密切关系。下面分析几种情况 讨论： 正实轴上闭环极点； 负实轴上闭环极点； z平面上的闭环共轭复数极点；,闭环极点与动态响应的关系 离散系统闭环极点在z平面不同位置时对应的瞬态分量如图8-
23、28 所示。 实轴上的6个极点对应的瞬态分量形式分别是（1）单调发散；（2）正向等幅；（3）单调收敛；（4）正、负双向收敛；（5）正、负双向等幅；（6）正、负双向发散。 z平面上三对共轭复数极点对应的瞬态分量形式分别是：为发散振荡；为衰减振荡；为等幅振荡。,闭环极点与动态响应的关系 当闭环极点位于单位圆内时，对应的瞬态分量是收敛的，故系统是稳定的。 当闭环极点位于单位圆外时，对应的瞬态分量均不收敛，产生持续等幅脉冲或发散脉冲，故系统不稳定。 极点距离z平面坐标原点越近，则衰减速度越快。若极点位于单位圆内的正实轴上，对应的瞬态分量按指数函数衰减。 单位圆内一对共轭复数极点所对应的瞬态分量为衰减的
24、振荡函数 为了使离散控制系统具有比较满意的瞬态响应性能，闭环脉冲传递函数的极点最好分布在单位圆内的右半部，并尽量靠近z平面的坐标原点。,8.6 离散控制系统的数字校正基本概念 什么是控制系统设计与校正？ 控制系统设计与校正方法？ 数字控制器的脉冲传递函数若已知系统广义对象G(z)，根据对离散系统的性能指标要求定出闭环脉冲传递函数，则控制器的脉冲传递函数D(z)就可唯一确定。设计步骤 由连续部分传递函数G(s)求出脉冲传递函数G(z); 根据系统的性能指标要求和其他约束条件，确定所需的闭环脉冲传递函数； 按式(8-101)确定数字控制器的脉冲传递函数D(z),最少拍系统设计 什么是最少拍系统？在
25、典型信号作用下，系统输出经最少个采样周期后在各采样时刻的稳态误差为零，达到完全跟踪的目的-时间最优。 最少拍系统的设计 最少拍系统的设计原则 :若系统广义对象无延迟，且在z平面单位圆上及单位圆外无零极点，要求选择闭环脉冲传递函数，使系统在典型输入作用下，经最少采样周期后能使输出序列在各采样时刻的稳态误差为零，达到完全跟踪的目的，从而确定所需的数字控制器的脉冲传递函数。 典型输入信号作用下系统的D(z)及输出响应。讨论最少拍系统单位阶跃、斜坡、加速度信号作用下，数字控制器的脉冲传递函数的确定及其输出响应。 最少拍系统的设计结果见表8-4 。 有限拍无波纹离散系统的设计 。,8.7 应用 MATLAB分析离散控制系统MATLAB软件功能 示例分析 已知z变换式E(z),求相应脉冲序列e(nT)； 根据离散控制系统结构图，确定系统开环脉冲传递函数G(z)； 已知离散控制系统结构图，分析系统的阶跃响应输出C(z)。,
