1、1第一章 概率论的基本概念习题一 随机试验、随机事件一、判断题1. （ ）AB2. （ ）C3. （ ）4.若 ，则 （ ）BAA5.若 ，则 （ ）6.若 ,则 （ ） C,7.袋中有 1 个白球，3 个红球，今随机取出 3 个，则（1）事件“含有红球”为必然事件； （ ） （2）事件“不含白球”为不可能事件； （ ）（3）事件“含有白球”为随机事件； （ ）8.互斥事件必为互逆事件 （ ）二、填空题1. 一次掷两颗骰子，（1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为 ；（2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为 。2.化简事件 。BA3.设 A,B,C
2、 为三事件，用 A,B,C 交并补关系表示下列事件：（1）A 不发生，B 与 C 都发生可表示为 ；（2）A 与 B 都不发生，而 C 发生可表示为 ；（3）A 发生，但 B 与 C 可能发生也可能不发生可表示为 ；（4）A,B,C 都发生或不发生可表示为 ；（5）A,B,C 中至少有一个发生可表示为 ；（6）A,B,C 中至多有一个发生可表示为 ；（7）A,B,C 中恰有一个发生可表示为 ；（8）A,B,C 中至少有两个发生可表示为 ；（9）A,B,C 中至多有两个发生可表示为 ；（10）A,B,C 中恰有两个发生可表示为 ；三、选择题1.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设 A 表示“恰有一
3、弹击中飞机” ，B 表示“至少有一弹击中飞机” ，C 表示“两弹都击中飞机 ”，D 表示“两弹都没击中飞机” ，则下列说法中错误的是（ ） 。A、A 与 D 是互不相容的 B、A 与 C 是相容的C、B 与 C 是相容的 D、B 与 D 是相互对应的事件2.下列关系中能导出“A 发生则 B 与 C 同时发生”的有（ ）A、 ；B、 ； C、 ； D、AB2四、写出下列随机试验的样本空间1.记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分） ；2.一个口袋中有 5 个外形相同的球，编号分别为 1、2、3、4、5，从中同时取出 3 个球；3.某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次
4、数。4.在单位圆内任取一点，记录它的坐标。五、在分别标有 1，2，3，4，5，6，7，8 的八张卡面中任取一张。设事件 A 表示“抽得一张标号不大于 4 的卡片” ；事件 B 表示“抽得一张标号为偶数的卡片” ；事件 C 表示“抽得一张标号为奇数的卡片” 。请用基本结果表示如下事件： CAAB,六、在计算机系的学生中任选一名学生，设事件 A 表示“被选学生是女生” ，事件 B 表示“被选学生是一年级学生” ，事件 C 表示“被选学生是运动员” 。1.叙述事件 的意义；CAB2.什么时候 ?3. ?3习题二 随机事件的概率一、判断题1. 概率为零的事件一定是不可能事件。 （ ） 2. 。 （ ）
5、 BPAP3. （ ） 4. （ ）15. 若 ,则 （ ）ABBP6. 若 0P（1） 则事件 和 B 不相容 （ ）（2） 则 或 （ ） 0二、填空题1.设事件 , 互不相容， ，则 = ， A2.,5.PAABBAP。2.已知 则 ,.0,3.,BPB)()()(A)(3.若 ,则 , ,3.,4.,5.0ABPABPBP三、选择题1.设事件 , 互不相容， ，则AqpP,A B. C. D.qp1q2.设当事件 和 同时出现事件 也随之出现，则BCA B.CPBPAC D.四、设 ， 是两件事，且 ,B7.0,6.1.在什么条件下 取到最大值，最大值是多少？AP2.在什么条件下 取到
6、最小值，最小值是多少？4五、设 是三事件，且CBA，81,0,41ACPBAPP求 至少有一个发生的概率。，六、设有 10 件产品，其中 6 件是正品，4 件次品，从中任取 3 件，求下列事件的概率；1.只有 1 件次品；2.最多 1 件次品；3.至少一件次品。七、口袋中有 a 个白球，b 个黑球，从中一个一个不返回地摸球，直至留在口袋中的球都是同一种颜色为止。求最后是白球留在口袋中的概率。八、设有 3 个人及 4 种就业机会，每人可随机选取任一个就业机会，求各个就业机会最多达到 1 人，2 人，3 人选择的概率各是多少？5习题三 条件概率一、判断题1.设 S 表示样本空间，则 （ ）1SAP
7、2. （ ）BAP13.若 ,则 =1 （ ）4.若 ，则 （ ）CP5.若 , ，则 （ ）BA0BA6.若 和 ，则 （ ）PAPC二、填空题1.已知 ，P则,5.0,4.0,3.BAP2.已知 则 。,61,3BA3.已知 则 4,1P4.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.5，现已知目标被击中，则它是甲射中的概率为 。 （调至习题四）三、已知在 10 只产品中有 2 只次品，在其中取两次，每次取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率：1.两只都是正品；2.一只是正品，一只是次品；3.第二次取出的是次品。四、某商店出售的电灯泡由甲乙两厂生产，其中甲厂的产品占
8、60%，乙厂的产品占 40%。已知甲厂产品的次品率为 4%，乙厂产品的次品率为 5%。一位顾客随机地取出一个电灯泡，求它是合格品的概率。6五、有三只盒子，在甲盒子中装有 2 枝红芯圆珠笔，4 枝蓝芯圆珠笔，乙盒中装有 4枝红芯圆珠笔，2 枝蓝芯圆珠笔，丙盒中装有 3 枝红芯圆珠笔，3 枝蓝芯圆珠笔。今从其中任取一只。设到三只盒子取物的机会相同。1.求它是红芯圆珠笔的概率；2.若已知取得的是红芯圆珠笔，问它取自甲乙和丙哪个盒子的可能性大？六、求证下列各题成立：1. ;ACBPACBP2.设 ，则ba, ba1习题四 独立性一、判断题1.概率为零的事件与任何事件都是独立的。 （ ）2.设 若 与
9、为对立事件，则 与 相互独立（ ）0,BPAAAB3. 若 与 相互独立，则 与 相容（ ）4. , ,C 相互独立的充分必要条件是他们两两相互独立（ ）5.从一大批产品中“不返回”地抽取，则可以认为各次抽取间产生的事件是独立的 （ ）二、填空题1.设事件 与 相互独立，已知 ，AB8.0,5.0BAP则 PBAP72.设两个相互独立的事件 和 都不发生的概率为 发生 不发生的概率AB,91AB与 发生 不发生的概率相等，则BP三、选择题1.设 ，则下列结论正确的是8.0,7.0,8.PAA 与 互不相容 B. BAC 与 相互独立 D.BBP2.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1掷 第 一
10、 次 出 现 正 面 2掷 第 二 次 出 现 正 面，则3正 反 面 各 出 现 一 次A4正 面 出 现 两 次AA 相互独立 B. 相互独立321, 432,C 两两独立 D. 两两独立四、设第一只盒子中装有 3 只蓝球，2 只绿球，2 只白球；第二只盒子中装有2 只蓝球，3 只绿球，4 只白球。独立的分别在两只盒子中各取一只球。1.求至少有一只蓝球的概率；2.求有一只蓝球一只白球的概率；3.已知至少有一只蓝球，求一只篮球一只白球的概率。五、甲乙两人投篮，甲投中的概率为 0.6，乙投中的概率为 0.7 。今各投三次。求：1.两人投中次数相等的概率；2.甲比乙投中次数多的概率。六、证明下列
11、各题1.已知 ，证明 相互独立；pqBAPqpAP1, BA,2.设 , , 三个事情相互独立，试证： 皆与 相互独立。BC,C8第一章 复习题一、填空题1. 已知 ，则8.0,5.0,3. BAPAPBAP2. 设随机事件 与 互不相容。已知B BAPa),1(则 （ ） ， （ ）a)(3. 设两两相互独立的三事件 和 满足条件： ，A,C21,CAPB且已知 ,则 ( )169BPP4. 某工厂生产的一批产品共有 100 个，其中 5 个次品。从这一批产品中任取一半来检查，则次品不多于 1 个的概率为5. 假设 1000 件产品中有 200 件不合格产品，依次作不放回抽取两件产品，则第二
12、次抽取到不合格产品的概率是二、选择题1. 设 , , 是三事件，与事件 互斥的事件是（ ） 。ABCAA. B. C. D.BC2.设 与 不相容， ,则下列结论肯定正确的是0,PA. 不相容 B.BA与 )(AC. D.PB3.已知 ,则3.0,7.0APA.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.34.设 ,则1,1, AA. 与 互不相容 B. 与 相互对立ABBC. 与 相互独立 D. 与 互不独立5.设事件 和 满足 ,则APA 是必然事件 B、 包含事件C. D0)(BP0AP三、 设 ,试将下列 4 个数：,按由小到打的顺序用不等号 联结起来，并, BA分别对每个不等号指明何时成
13、为等号。四、计算下列各题91. 一箱子中盛有 20 个红球，10 个黑球，设所有的球都是可区分的，连续地从中取球且取出后不放回去，直接取到黑球为止，试求取得的红球数恰好是的概率。20k2. 将三个球随机地投入 4 个盒子中，求下列事件的概率；（1） A=“任意 3 个盒子中各有 1 球” ；（2） B=“任意一个盒子中有 3 个球” ；（3） C=“任意 1 个盒子中有 2 个球，其他任意 1 个盒子中有 1 个球” 。3某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意的拨号。求他拨号不超过 3 次而接通所需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？4.某产品的合格概率是 0.96
14、。有一检查系统，对合格品进行检查能以 0.98 的概率判为合格品，对不合格品进行检查时，仍以 0.05 的概率判为合格品。求该检查系统发生错误的概率。5.一电子器件工厂从过去经验得知，一位新工人参加培训后能完成生产定额的概率为0.86，而不参加培训只能完成定额的概率为 0.35，假如该厂中有 80%的工人参加过培训。（1）一位新工人完成生产定额的概率为多少？（2）若一位新工人已完成生产定额，他参加过培训的概率是多少？6.一口袋中有 6 个球，对其中球的颜色有三种看法：袋中有四只红球和两只白球；:1A2袋中有三只红球和三只白球；袋中有两只红球和四只白球；:3对这三种看法的某人认为其发生的可能性分
15、别为：21,6,132APAP某人从口袋中任取一球，得到了白球。此时他应该如何修正自己的看法呢？7. 设两箱内装有同种零件，第一箱装 50 件，有 10 件一等品，第二箱装 30 件，有 18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取两个零件，求：（1） 先取出的零件是一等品的概率 p；（2） 在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率 q。8. 一试验可以独立重复进行，每次试验的成功率为 p，则直到第 10 次试验才取得 4次成功的概率为多少？9. 有 6 个元件，它们断电的概率第一个为 0.6，第二个为 0.2，其余四个都为 0.3，各元件相互独立，求线路断电的概率
16、，若（1） 所有元件串联；（2） 元件按图连接 1-2-3-4-5-610.甲乙丙三人独立向一飞机射击，设甲乙丙的命中率分别为 0.4，0.5，0.7，又设恰有1 人，2 人，3 人击中飞机坠毁的概率分别为 0.2，0.6，1 。现在三人向飞机各射击一次，求飞机坠毁的概率。五、证明下列各题：101. ;BAPABP12.设 ;0,1,0, pp证 明3.若 ,则第一章 自测题一、填空题1.设 且 A 与 B 互不相容，则,7.0,3.0BPA BP2.设 则及 ,8.653.10 件产品中有 3 件次品，从中随机抽出 2 件，至少抽到 1 件次品的概率是4.投掷一枚骰子，则出现的点数小于 4
17、的概率为5.一道单项选择题同时列出 5 个答案，一个考生可能真正理解而选对答案，也可能乱猜一个。假设他知道正确答案的概率为 ，乱猜选对答案的概率为 。如果已知315他选对了，则他知道正确答案的概率为二、选择题1.若 ,则0ABPA B.BAC. D.P2.设 则,BA B.PABC. D. P3.设 , , 是三个相互独立的随机事件，且 则下列四对事件中，BC,10C不相互独立的是A B.与 AB与B. D.B与与4.若 ABPPP则,35.0,51.0,9.A. 0.16 ； B. 0.18 ； C. 0.21 ； D. 0.235.甲乙二人独立对同一目标各射击一次，命中率分别为 0.6 和
18、 0.5 。现已知目标被击中，则它是甲击中的概率11A. B . C. D. 43516三、计算下列各题1. 已知 ,若满足条件：3,PA（1） 与 互不相容（2） B（3） 51试分别求出 的值AP2已知 ,试求BACBPAC且,7.0,1.,2.0,6. CP3.两封信随机投降标号为 1，2，3，4 的四个邮筒，问第 2 号邮筒恰好投入一封信的概率是多少4.袋中有 3 个红球和 2 个白球（1）第一次从袋中任取一球，随即放回，第二次再任取一球，求两次都是红球的概率；（2）第一次从袋中任取一球，不放回，第二次再任取一球，求两次都是红球的概率。5.城乡超市销售一批照相机共 10 台，其中有 3
19、 台次品，其余均为正品，某顾客去选购时，超市已销售 2 台，该顾客从剩下的 8 台中任意选购一台，求：（1）该顾客购到正品的概率；（2）若已知顾客购到的是正品，则已售出的两台都是次品的概率是多少6.设某人射击命中率为 。在 10 次射击中，求它至少命中一次的概率51四、证明下列各题1.设 证明 ;,32,BPA216ABP2.已知事件 与 本身相互独立，证明： 10AP或第一章 考研训练题一、填空题1.已知 则事件 A,B,C 全不,16,41BCABPCBPA发生的概率2.设 则,6.0,3.0,4.3.设 是任意两个随机事件，则BA, )()(BABAP4.设 10 件产品中有 4 件不合
20、格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为5.随机地向半圆 （ 为正常数）内投掷一点，点落在半圆内任何区域20xay12的概率与区域面积成正比，则原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于 的概率为46.一射手对同一目标独立地进行四次射击，如果至少命中一次的概率为 ，则该射手的810命中率为7.袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个黄球，30 个白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是8.三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球 1 个白球，第二个箱子中有 3 个黑球 3 个白球，第三个箱子中有 3 个黑球 5 个白球。现随机
21、地取一个箱子，再从这个箱子取出 1 球，这个球为白球的概率为 ；已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率二、选择题1.对于任意二事件 A, BA若 ,则 , 一定独立 B. 若 ,则 , 不一定独立AABC. 若 ,则 , 一定独立 D. 若 ,则 , 不一定独立2.设 ,则必有PBP010A B. BAC D. B3.已知 且 ,则下列选项成立的是10PPA2121A. B.PBA21BAPA21C. D.211B4.设当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必然发生，则A B.PCPAC. D. B5.在电炉上安装 4 个控温器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控
22、器显示温度不低于临界温度 ，电炉就断电，以 E 表示“电炉断电” ，而0t,为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E 等于4321TT（）A B. C. D. 01t02t03tT04tT三、从 0，1，29 共十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率5和三 个 数 字 中 不 含 502或三 个 数 字 中 不 含A13503但 不 含三 个 数 字 中 含A四、设有来自三个地区的各 10 名、15 名、25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份，7 份，5 份。随机地抽取一个地区的报名表，从中先后抽出两份1. 求先抽到的一份是女生表的概率 p2. 已知后抽
23、到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q五、假设一厂家生产的每台仪器，以概率 0.7 可以直接出厂；以概率 0.3 需进一步调试，经过调试后以概率 0.8 可以出厂，以概率 0.2 定为不合格产品不能出厂。现该厂新生产了台仪器（假设各台仪器生产过程相互独立） 。求：)2(n1. 全部能出厂的概率为 2. 其中恰好有两台不能出厂的概率为 3. 其中至少有两台不能出厂的概率为 六、玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，假设各箱含 0，1，2 只残次品的概率相应为 0.8，0.1和 0.1 。一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员任取一箱，二顾客开箱随机检查 4 只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯
24、，否则退回，试求：1. 顾客买下该箱的概率 p2. 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率 q七、设 , 是任意二事件，其中 的概率不等于 0 和 1，证明：ABA是事件 与 B 独立的充分必要条件P八、设 ,B,C 是不能同时发生但两两相互独立的随机事件，且 ,CPBA证明： 可取的最大值为21九、设事件 A,B,C 同时发生必导致事件 D 发生，证明：PCBPA14第二章、随机变量及其分布习题五 随机变量、离散型随机变量及其分布规律一、判断题1是随机变量 的分布规律X2.若对随机变量 有 ，则它是随机变量 的分布规律3,210,652kkPX3.若对随机变量 有 则它是随机变量 的分布律
25、,54,二、填空题1.设随机变量 的分布律为 ,则XNkNaXP,321, a2.设随机变量 的分布律为 ，则,0,!，e3.设离散型随机变量 服从两点分布，且 1,41XP则4.设随机变量 且已知 则,pnbX 32XPn,5.某试验的成功概率为 ，失败概率为 ，若以 表示试验者首次成功所进行的试验4341次数，则 的分布律为X6.设随机变量 服从二项分布 随机变量 服从二项分布若 。若,2pbYpb,3则,951P1YP三、在 15 件同类型的零件中有 2 件次品，从中取 3 次，每次任取 1 件，作不放回抽取。以 表示取出的次品的个数。X1求 的分布律2.画出分布律的图形X1 2 3kp
26、0.1 0.4 0.515四、一大楼装有 5 个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻 t 每个设备被使用的概率为 0.1，问在同一时刻1.恰有 2 个设备被使用的概率是多少？2.至少有 3 个设备被同时使用的概率是多少？3.至多有 3 个设备被同时使用的概率是多少？五、设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为 0.3 的泊松分布，试问：1.在一周内恰好发生 2 次交通事故的概率是多少？2.在一周内至少发生 1 次交通事故的概率是多少？六、某商店过去的销售记录表明，某种商品每月的销售数可用参数 的泊松分布10描述，为了以 99%以上的把握该种商品不脱销，每月该种产品的库存量为多少件？16七、
27、设 服从泊松分布，其分布律为X2,10,!keP当 最 大 ？为 何 值 ，k17习题六 随机变量分布函数、连续型随机变量及其概率密度一、判断题1. 是某个随机变量的分布函数。,0.12,xF2. 是某个随机变量的分布函数。,3. 是某个随机变量的概率密度函数0,xef4.若概率 ,则 X 不可能是连续型随机变量126XP5.对连续型随机变量，区间上有限个点上密度函数值的改变不影响区间上的概率值6.对一个分布函数 ,概率密度函数是唯一的。xF7.设 为其分布函数，则uNX,2 1x二、填空题1.已知连续型随机变量 的分布函数为 ，则常数 k ,XxbkxF,10, b2.已知随机变量 的密度函
28、数为偶函数， 为 的分布函数，则XxF3.设随机变量 ，4,60XPUX则 41P4.设随机变量 ,则1N0,0,X5.设随机变量 ，且 无实根的概率为 则22y,21三、选择题1.设 分别为 的密度函数和分布函数，则有（ ）xFf,XA. B.fXPxFPC. D.10xf 182. ，则随 的增大， 将会2,10NX10XPA.单调递增 B.单调递减C.保持不变 D.不能确定四、设随机变量 的概率分布为X 0 1 2kp571. 求 X 的分布函数 ，并画出 的图形；xFx2. 求 并比较后两个概率值。,20,20P,.1X五、设连续型随机变量 的分布函数为X1,0,2xAF试求：1.系数
29、 A2. 2321XPP及3. 的分布密度X19六、设随机变量 的密度函数为X2,0cosxAf试求：1.系数 ， 的分布函数 ， 3. 落在区间 的概率XxFX4,0七、设随机变量 , 1.若 23NXcXPc求,2.求 3,52XPP3.设 d 满足 ，问 至多为多少？9.0d四、公共汽车车门高度，是按男子与车门碰头机会在 0.01 一下来设计的，设男子身高服从 的正态分布，问车门高度应如何确定？Xcm7,16820习题七 随机变量的函数的分布一、填空1.设随机变量 分布律为XX -3 -2 0 1 2kp8436则 的分布律为1U的分布律为2Z2.设随机变量 的服从的分布为XYX1,0则
30、3.设随机变量 服从的分布为2532N则二、选择题1.设 的密度函数为 ，则下列随机变量 的Xxexfx,21432 1,0NY是A. B.)3(21Y )3(XYC. D.)(X)(212.设 的密度函数为 的概率密度是XYxp,2则A. B. C. D.）（ 2y41）（ 24y）（ 21yyarctn13.已知 ,93XPNX则A. B. C. D.5.0332三、设 的概率密度 的分布函数和概率密度12,012XYxxf， 求其 它21四、设 1.求 的概率密度 2求 的概率密度)1,0(NXXeY12XY3求 的概率密度Y五、1.设随机变量 服从区间 上的均匀分布，求 的密度函数，X
31、)2,(XYtan并计算 0YP2.设随机变量 服从 上的均匀分布，记 ,试求 的分布律,101,六、1从 8 件正品 2 件次品中任取 3 件，求其中次品数 X 的平方的概率分布；2. 设圆的直径服从（0，1）上的均匀分布，求圆的面积的密度函数七、设随机变量 服从参数 的指数分布，证明： 在区间（0，1）上服X21XeY2从均匀分布。22第二章 复习题一、填空题1.已知离散型随机变量 X 的分布律为：.1,0,41bPaXP分布函数 则 ， ， ， xedcF1,3, cd2.设随机变量 的概率分布为 XxAf,12,PA则3.已知随机变量 的概率密度函数 则 的分布函数,efxXxF4.设
32、随机变量 0,3.42,PXNX则且5.已知 的概率密度为 )(,0,12yfYexxf Y的 概 率 密 度， 则其 他二、选择题1.设 )(,1,02,)(xFxXF则A是随机变量 的分布函数 B.不是随机变量 的分布函数XC. 是离散型随机变量 的分布函数 D.是连续型随机变量 的分布函数2.设 分别为随机变量 的分布函数。为使)(21xF与 21,XxbFax21是某一随机变量的分布函数，在写列给定的个组数中应取A. ； B. ； C. ； D. 5,3ba3,ba3,ba3,3.设随机变量 其分布函数记为 ,则对于任意实数 ，有,2NX)(xFxA B. 1xF1C. D. 004.
33、设随机变量 的分布函数为 若 和 有相同的分布函数，则.,xf密 度 函 数 为 XA. ；B. ； C. ； D. xxff235.设连续型随机变量 的概率密度为 ，则 服从X其 他， ,012xf 2XYA参数为 1 的指数分布 B.区间（0，1）上的均匀分布C. 参数为 2 的指数分布 D.区间（0，2）上的均匀分布三、若 212121 , xPxxXPxXP 试 求其 中四、连续型随机变量 的分布函数为其中 为正常数，求：axBAxF,1rcsin,0a1.常数 A 和 B 2. 3.求 的概率密度2XPX五、设随机变量 的密度函数为 X1,0,2xAf求：1.常数 2. 3.分布函数
34、A21PF六、设随机变量 的密度函数为X求 2. 如果0,15xexf 10XxXP求,1.0七、已知甲乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有3 件合格品。从甲箱中任取 3 件放入乙箱，求：1.乙箱中次品件数 的分布律；X2.从乙箱中任取一件产品是次品的概率。八、某地抽样调查表明，考生的外语成绩(百分制) 分布近似于正态分布 ,96 份以2,7N上的占学生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60-84 份之间的概率。九、已知某批建筑材料的强度 现从中任取一件，求：,1820NX1.这件材料的强度不低于 180 的概率2.如果所用的材料要求以 99%的概
35、率保证强度不低于 150，问这批材料是否符合这个要求。十、设随机变量 的概率分布为X其 它,08132xxf。的 分 布 函 数的 分 布 函 数 。 求是 XFYxF十一、已知 ,ln2N241. 求 X 的概率密度函数 2.若xfX31,4lneXPN求十二、设连续型随机变量 的分布函数为 F1. 求 的密度函数 2. 的密度函数FYZl2第二章自测题一填空题1. 设某批电子元件的正品率为 ，次品率为 。现对这批元件进行测试，只要测得 1541个正品就停止测试工作，则测试次数 的分布律为（ ）X2. 设随机变量 的概率密度函数 则使 成X其 他,03xxf aXP立的常数 为（ ）a3.
36、设连续型随机变量 的概率密度函数 则常数 =（ ）其 他,20382xaxf4. 设随机变量 ( )97.02,10XPNX， 则已 知 5. 随机变量 X 的概率密度为 ( )的 密 度 函 数 为则若 YxfX,23,二选择题1. 随机变量 在下面区间（ ）取值，可使函数 成为他的分布函数xFcosA. B. C. D.2,0,02,32.设连续型随机变量 的密度函数满足 是 的分布函数，XxfX则 5PA. B. C. D.20F1205F205F2051F3.设随机变脸 是 X 的概率密度，则下列 4 个命题中错误的是xNX,A. B.上 的 积 分 等 于 常 数，在 x2上 的 最
37、 大 值 是，在 xC. D.对 称关 于 2是 一 个 偶 函 数x4.设随机变量 在区间0,3 上服从均匀分布，则关于变量 的方程Xy无实根的概率是042yA. B.1 C. D.313215.设 则且 ,NbaXN25A. B. 2,ba1,2baC. D. 1三、一口袋中有红白黄各 5 个，现从中任取 4 个，用 表示取到白球的个数，求 的XX概率分布四、1.设连续型随机变量 的分布函数为： X0,2xBeAF1. 求常数 ;BA,2. 求 的概率密度函数；3. 求 的取值落在区间（1，2）内的概率。X2. 设随机变量 的密度函数为 其 他,021xxf求 的分布函数XxF五、设随机变
38、量 X 的概率分布为X -2 -1 0 1 2 3kp0.1 0.2 0.25 0.2 0.15 0.1求：1. 的概率分布； 2. 的概率分布。Y22XZ六、某种型号电子元件的寿命（以小时计）具有以下的概率密度现有一大批此种元件（设各元件工作相互独立） ，其 他,012xf1. 任取 1 只，其寿命大于 1500 小时的概率是多少？2. 任取 4 只，4 只寿命都大于 1500 小时的概率是多少？3. 若一只元件的寿命大于 1500 小时，则该元件的寿命大于 2000 小时的概率是多少？七、在电源电压不超过 200 伏，在 200-240 伏和超过 240 伏三种情况下，某种电子元件损坏的概
39、率分别为 0.1，0.001，0.2，假设电源电压服从 ,250N求：1.电子元件损坏的概率；2.该电子元件损坏时，电源电压在 200-240 伏的概率八、设随机变量 服从指数分布：X其中 为大于零的常数0,xef试求：1. 的密度函数； 2. 的密度函数。YXeZ九、设随机变量 X 的概率密度 满足： ， 为 X 的分布函数。xfxfF证明对任意实数 有：a261. 2.dxfaFa02112aFXP第二章 考研训练题一、填空题1.设随机变量 的概率密度为 X其 它,063921,xf若 使得 ,则 的取值范围是（ ）k32kP2.一实习生用同一台机器接连独立地制造 3 个同种零件，第 i
40、个零件是不合格品的概率 ，以 表示 3 个零件中合格品的个数，则 （ ）),1(ii X2XP3.设随机变量 的概率密度 以 表示对 的三次独立重复观察中其 他,012xxfY事件 出现的次数，则 （ ）21XYP4.设随机变量 服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量 在（0，4）内2X的概率密度 （ ）yfY5.设随机变量 X 的分布函数为 ，则 的概率分布为（ ）3,18.04,xF二、选择题1.设随机变量 服从指数分布，则随机变量 的分布函数X2,minXYA.是连续函数； B.至少有两个间断点；C.是阶梯函数 ； D.恰好有一个间断点2.（错题）设 是任意两个相互独立的连续型随机变量，
41、它们的概率密度分别为21,，则xFxf 2121 ,分 布 函 数 分 别 为A. 必为某一随机变量的概率密度B. 必为某一随机变量的概率密度f21C. 必为某一随机变量的分布函数xFD. 必为某一随机变量的分布函数21273.设随机变量 的概率分布如下：iX（i=1,2）且满足 ,则1021XP21XPA.0 B. C. D.14三、设随机变量 的绝对值不大于 1； 1;41,8XXP在 事 件出现的条件下， 在（-1，1 ）内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度X成正比。试求：1. 的分布函数 。2. 取负值的概率xFp四、假设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障
42、工作时间都服从参数为 的指数分布。当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正0常工作。试求电路正常工作时间 的概率分布T五、设随机变量 的概率分布为X0,xexfX求 的概率密度 .eYyfY六、设随机变量 的概率密度为 其 它 1,02xxf现在对 进行 次独立重复观测，以 表示观测值不大于 0.1 的次数，XnnV试求随机变量 的概率分布V七、设一大型设备在任何长为 的时间内发生故障的次数 服从参数为 的泊松分布。t t1.求相继两次故障之间时间间隔 的概率分布；T2.求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障运行 8 小时的概率 q八、设随机变量 在区间2， 5上服从
43、均匀分布。现在对 进行三次独立观测，试求至少T有两次观测值大于 3 的概率i-1 0 1ip428第三章 多维随机变量及其分布习题八 二维随机变量一、判断题1.设 是二维随机变量，事件 表示事件 与 的),(YX,yYxXxXyY积事件。 （ ）2. 是某个二维随机变量 的分布函数。 （ 0,1),(yxyxF， ),(）二、填空题1.若二维随机变量 的概率分布律为),(YX则常数 = 。a2.若二维随机变量 恒取一定值（a,b） ，则其分布函数为 。),(YX3.若随机变量 的概率密度为),( ， 其 它 ，0,20,1,3),(2yxykxyf则 _,_,1,_, YXPYXPk。0三、将三个球随机放入三个盒子中，用 和 分别表示放入第一个和第二个盒子中的球的个数，求 的联合分布律。),(YYX 1 2 3 12 698 a29四、设二维连续型随机变量 的分布函数为),(YX,)3arctn2rt),( yxxbaYF1. 求常数 的值； c2. 求 的概率密度函数 。),(X),(yxf五、设随机变量 的密度函数为),(YX
