1、上海九年级数学上知识总结相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b 的长度分别是 m、n，那么就说这两条线段的比是a：bm：n（或 ）nba2、比的前项，比的后项：两条线段的比 a：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 dc4、比例外项：在比例 （或 a：bc：d）中 a、d 叫做比例外项。5、比例内项：在比例 （或 a：bc：d）中 b、c 叫做比例内项。6、第四比例项：在比例 （或 a：bc：d）中，d
2、叫 a、b、c 的第四比例项。7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 （或 a:bb:c 时，我们把 b 叫做 a 和 d 的比例中项。8.比例线段：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或 a：b=c：d） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 （注意：在求线段比时，线段单cb位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: （两外项的积等于两内项积）bcadcb2.反比性质： (把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()abcdbbca， 交 换 内 项， 交 换 外 项
3、同 时 交 换 内 外 项4.合比性质： （分子加（减）分母,分母不变）dcbd注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立如： dcbadcb5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果 ，那么 )0(nfdbnmfedcba banfdbmeca注意：(1)此性质的证明运用了“设 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法k(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立知识点三：黄金分割1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分
4、成两条线段 AC 和 BC（ AC BC） ，如果 ，即ACBAC2=ABBC，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。其中 0.618 。AB2152）黄金分割的几何作图：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点.作法：过点 B 作 BDAB，使 ；连结 AD，在 DA 上截取 DE=DB；在 AB 上截取 AC=AE，则点 C 就是所求作的线段 AB 的黄金分割点.黄金分割的比值为：.（只要求记住）.ABDECF或 等3）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。知识点四：平行线分线段
5、成比例定理(一)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.例. 已知 l1l 2l 3, A D l1 B E l2 C F l3可得2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 由 DEBC 可得： .此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.ACEBDAECDB或或3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. (即利用比例式证平行线)4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
6、. 5.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线,如果在一条直线上截得的线段相等，难么在另一条直线上截得的线段也相等。 三角形一边的平行线性质定理定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例。几何语言 ABE 中 BDCE 简记： DEABC下上下上 （1）是“A”字型（2）是“8”字型 经常考，关键在于找FEDCBA归纳： 和 推广：类似地还可以得到 和 AEDCB全上全上 全下全下EDAB CADBEC三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.三角形一边的平行线的判定定理三角形一边平行线判定定理
7、如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.EDAB CAE DCB三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.平行线分线段成比例定理1平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.用符号语言表示：ADBECF, .,ABDECFABDE2平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.用符号语言表示： . FDEA重心定义：三角形三条中线相交于一点，
8、这个交点叫做三角形的重心.重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.EDCBA知识点三：相似三角形1、 相似三角形1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。两个等腰直角三角形一定相似。两个等边三角形一定相似。两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等） ；2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。如ABC 与DEF
9、相似，记作ABC DEF。相似比为 k。4）判定：定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。三角形相似的判定定理：判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似(此定理用的最多)判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：
10、三边对应成比例，两三角形相似直角三角形相似判定定理:.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 1.直角三角形被斜边上的高分 成 的 两 个 直 角 三 角 形 与 原 直 角 三 角 形 相 似 ， 并 且 分 成 的 两 个 直 角 三 角 2形 也 相 似 。 补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD=ADBD， AC=ADAB，BC=BDBA（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.补充二：三角形相似的判定定理推论推 论 一 ： 顶 角 或 底 角 相 等 的 两 个 等 腰 三 角 形 相 似 。 推 论 二
11、： 腰 和 底 对 应 成 比 例 的 两 个 等 腰 三 角 形 相 似 。 推 论 三 ： 有 一 个 锐 角 相 等 的 两 个 直 角 三 角 形 相 似 。 推 论 四 ： 直 角 三 角 形 被 斜 边 上 的 高 分 成 的 两 个 直 角 三 角 形 和 原 三 角 形 都 相 似 。 推 论 五 ： 如 果 一 个 三 角 形 的 两 边 和 其 中 一 边 上 的 中 线 与 另 一 个 三 角 形 的 对 应 部 分 成 比 例 ， 那 么 这 两 个三 角 形 相 似 。相似三角形的性质相似三角形对应角相等、对应边成比例.相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的
12、比都等于相似比(对应边的比).相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.锐角三角函数知识点总结与复习1、勾股定理：直角三角形两直角边 、 的平方和等于斜边 的平方。 abc22cba1.如下图，在 RtABC 中，C 为直角，则A 的锐角三角函数为(A 可换成B)：3、任 意 锐 角 的 正 弦 值 等 于 它 的 余 角 的 余 弦 值 ； 任 意 锐 角 的 余 弦 值 等 于 它 的 余 角 的 正 弦 值 。BAcosini )90cos(inAi4、任 意 锐 角 的 正 切 值 等 于 它 的 余 角 的 余 切 值 ； 任 意 锐 角 的 余 切 值 等 于 它 的 余 角 的 正
13、 切 值 。BAcottan )90cot(tanAA定 义 表达式 取值范围 关 系正弦 斜 边的 对 边AsincaAsin 1sin0(A 为锐角)余弦 斜 边的 邻 边cobo oA(A 为锐角)BAcosini1si22正切 的 邻 边的 对 边AtanbaAtn0tn(A 为锐角)余切 的 对 边的 邻 边cot acotcot(A 为锐角)BAcottan(倒数)t1tca A90得由对边邻边b斜边A CBac90得由 A5、0、30、45、60、90特殊角的三角函数值(重要)三角函数 0 30 45 60 90sin0 212231co1 310tan0 1 3不存在co不存在
14、 31 06、正弦、余弦的增减性：当 0 90时，sin 随 的增大而增大，cos 随 的增大而减小。7、正切、余切的增减性：当 0 90时，tan 随 的增大而增大，cot 随 的增大而减小。1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角。依据：边的关系： ；角的关系：A+B=90；边角关系：三22cba角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；(2)俯角：视线在水平线下方的角。(3)坡面的铅直高度 和水平宽度 的比叫做坡度 (坡hl比)。用字母 表示，即 。坡度一般写成 的形式，如 等。把坡面与iil1:m1
15、:5i水平面的夹角记作 (叫做坡角)，那么 。tanhil3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：45、135、225。4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于 90的水平角，叫做方向角。仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰:ihll如图 4：OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：北偏东 30（东北方向） ，南偏东 45（东南方向） ，南偏西 60（西南方向） ，北偏西 60（西北方向） 。第一部分 基础知识1.定义：一般地，如果 cbaxy,(2是常数， )0，那么 y 叫做 x 的二次函数.2.二次函数2ax的性质（1）抛
16、物线 y的顶点是坐标原点，对称轴是 y轴.（2）函数2x的图像与 a的符号关系 .当 0a时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是 y轴的抛物线的解析式形式为2axy）（ 0.3.二次函数 cbxay2的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线.4.二次函数 用配方法可化成： khxay2的形式，其中 abckh422，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ； axy2； hxy；khxay2； cbxay2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a 的符号决定抛物线的开口方向：当 0时，开口向上；当 0a时
17、，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于 y轴（或重合）的直线记作 hx.特别地， y轴记作直线 x.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法： abcxcbay4222，顶点是 ），（ abc42，对称轴是直线 abx2.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 khxy的形式，得到顶点为( h,k)，对称轴是直线hx.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物
18、线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线 cbxay2中， a,的作用（1） 决定开口方向及开口大小，这与2xy中的 a 完全一样.（2）b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 cbxay2的对称轴是直线 abx2，故：b=0 时，对称轴为 y轴；0（即 、 b同号）时，对称轴在 轴左侧；0（即 a、b 异号）时，对称轴在 y轴右侧.（3） c的大小决定抛物线 cbxay2与 y轴交点的位置.当 x=0 时，y=c，抛物线 与 y 轴有且只有一个交点（0， c）：c=0，抛物线经过原点; c0,与 y 轴交于正半轴；c0,与 y
19、轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 0ab.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2axy0x（y 轴） （0,0）k（y 轴） (0, k)2hxayhx(h,0)k当 0a时,开口向上；当 0a时，开口向下。 ( ,k)11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式： cbxay2.已知图像上三点或三对 x、 y的值，通常选择一般式.（2）顶点式： kha2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 1x、 2，通常选用交点式： 21xay.12.直线与抛物
20、线的交点（1） y轴与抛物线 cbax2得交点为(0, c).（2）与 y 轴平行的直线 h与抛物线 bxay2有且只有一个交点( h, cba2).（3）抛物线与 x 轴的交点(x 1,0)、(x 2,0)二次函数 cba2的图像与 x轴的两个交点的横坐标 1、 2x，是对应一元二次方程 02x的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0抛物线与 轴相交；有一个交点（顶点在 x轴上） 0抛物线与 x轴相切；没有交点 抛物线与 轴相离.（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，
21、两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k，则横坐标是kcbxa2的两个实数根.（5）一次函数 ny的图像 l与二次函数 02acbxy的图像 G 的交点，由方程组的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时 l与 G 有两个交点; 方程组只有一组解时 l与nkxycba2G只有一个交点；方程组无解时 l与 G 没有交点.（6）抛物线与 x轴两交点之间的距离：若抛物线 cbxay2与 轴两交点为 021， xBxA，由于1x、 2是方程 02cba的两个根，故 ax21, acbaxxAB 442221212121第二部分 典型习题.抛物线 yx 22x2 的顶点坐标是 （ ）A.（2，2） B.（1，2
22、） C.（1，3） D.（1，3）.已知二次函数 cbxa的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）ab0，c0 ab0，c0 ab0，c0 ab0，c0cbaxy2 abx2( abc422，)CAE FB D第,题图 第 4 题图.二次函数 cbxay2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0.如图，已知 中，BC=8，BC 上的高 h4，D 为 BC 上一点， EFBC/，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F（EF 不过A、B），设 E 到 BC 的距离为 x，则 EF的面积 y关于 x的函数的图象大致为（ ）D
23、O424 O424 O424 O424Ayx B C.抛物线 32y与 x 轴分别交于 A、B 两点，则 AB 的长为 6.已知二次函数 1)(k 与 x 轴交点的横坐标为 1x、 2（ 1x ），则对于下列结论：当 x2 时，y1；当 2x 时，y0；方程 0)(2 k有两个不相等的实数根 1、2x； ， 1 ； 214x ，其中所有正确的结论是 （只需填写序号）7.已知直线 bxy与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；一抛物线的解析式为 .（1）若该抛物线过点 B，且它的顶点 P 在直线 bx2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点 B 作直线 BCAB 交 x 轴交于点 C，若抛
24、物线的对称轴恰好过 C 点，试确定直线 bxy2的解析式.8.有一个运算装置，当输入值为 x 时，其输出值为 y，且 是 x 的二次函数，已知输入值为 ,0,1时, 相应的输出值分别为 5, 3, 4（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值 y为正数时输入值 x的取值范围. 9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图请根据图象回答：第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? 第三天 12 时这头骆驼的体温是多少?兴趣小组又在研究中发现，图中 10 时到 22 时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式10.已知抛物线4)3(2xay与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C是否存在实数 a，使得ABC 为直角三角形若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由11.已知抛物线 yx 2mxm2. （1）若抛物线与 x 轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧，并且 AB 5，试求 m 的值；（2）设 C 为抛物线与 y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点 M、N，并且 MNC 的面积等于 27，试求 m 的值.
