1、第 1 页，共 19 页浙江省金丽衢十二校 2019 届高三第一次联考数学试题一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分）1. 若集合 A=（-，5），B=3，+ ），则（ RA） （ RB）=（ ）A. R B. C. D. ，3,5) (,3)5 +)2. 已知向量 =（4， ）， =（1，5 ），则 与 的夹角为（ ） 3 3 A. B. C. D. 30 45 60 903. 等比数列a n的前 n 项和为 Sn，己知 S2=3，S 4=15，则 S3=（ ）A. 7 B. C. 7 或 D. 9 96384. 双曲线 9y2-4x2=1 的渐近线方程为（ ）A. B. C.
2、D. =49 =94 =23 =325. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 323 163 83 436. 己知复数 z 满足 zi5=（+3 i） 2，则 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限7. 设函数 f（x ）的定义域为 D，如果对任意的 xD，存在 yD，使得 f（x）=-f（y）成立，则称函数 f（x ）为“H 函数”，下列为“H 函数” 的是（ ）A. B. =+2 =+C. D. =2 =22第 2 页，共 19 页8. 如图，二面角 -BC- 的大小为 ，AB ，CD ，且 ，
3、6 =2，则 AD 与 所成角的大=2， =4， =3小为（ ）A. 4B. 3C. 6D. 129. 五人进行过关游戏，每人随机出现左路和右路两种选择若选择同一条路的人数超过 2 人，则他们每人得 1 分；若选择同一条路的人数小于 3 人，则他们每人得0 分，记小强游戏得分为 ，则 E=（ ）A. B. C. D. 516 1116 58 1210. 在等腰直角ABC 中，AB AC，BC =2，M 为 BC 中点，N 为 AC 中点，D 为 BC 边上一个动点，ABD 沿 AD向纸面上方或者下方翻折使 BDDC，点 A 在面 BCD上的投影为点 O，当点 D 在 BC 上运动时，以下说法错
4、误的是（ ）A. 线段 NO 划过的曲面面积为 B. 24 |2C. D. 取值范围为+=90 | 0, 2)二、填空题（本大题共 7 小题，共 36.0 分）11. 已知 nN*，（x 2- ） n的展开式中存在常数项，则 n 的最小值为_，此时常153数项为_12. 偶函数 f（x ）满足 f（x -1）=f（x +1），且当 x0，1时，f（x）=x，则 f（ ）43=_，则若在区间-1 ，3内，函数 g（x）=f （x）-kx- k 有 4 个零点，则实数 k的取值范围是_13. 若实数 x、y 满足 xy0，且 log2x+log2y=1，则 + 的最小值是 _， 的最21 2+2大
5、值为_14. 在从 100 到 999 的所有三位数中，百位、十位、个位数字依次构成等差数列的有_个；构成等比数列的有_个15. 若等边ABC 的边长为 ，平面内一点 M 满足 = + ，则 =_231623 16. 己知函数 y=sinx+ cosx 是由 y=sinx- cosx 向左平移 （ （0，2）个单位得到3 3的，则 =_第 3 页，共 19 页17. 已知 P 是椭圈 + =1（a0，b0）上的动点，过 P 作椭圆的切线 l 与 x 轴、y 轴2222分别交于点 A、B，当 AOB（O 为坐标原点）的面积最小时，cosF1PF2= （F 1、F 2 是椭圆的两个焦点），则该椭圆
6、的离心率为_34三、解答题（本大题共 5 小题，共 74.0 分）18. 如图，在ABC 中，已知点 D 在边 AB 上，AD=3DB，cos A= ，cos ACB= ，BC =1345 513（1）求 cosB 的值；（2）求 CD 的长19. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，已知 PA平面 ABCD，且四边形 ABCD 为直角梯形，ABC=BAD= ，PA=AD=2，AB=BC=1，点 M，E 分别是 BA，PD 的中点2（1）求证：CE平面 BMD；（2）点 Q 为线段 BP 中点，求直线 PA 与平面 CEQ 所成角的余弦值第 4 页，共 19 页20. 已知数列a n，a 1=2
7、，a 2=6，且满足 =2（n2 且 nN+）+1+1+1（1）求证：a n+1-an为等差数列；（2）令 bn= - ，设数列b n的前 n 项和为 Sn，求S 2n-Sn的最大值10(+1) 1221. 已知椭圆 C： +y2=1 左顶点为 A，O 为原点，M，N 是直线 x=t 上的两个动点，且22MOON，直线 AM 和 AN 分别与椭圆 C 交于 E，D 两点（1）若 t=-1，求MON 的面积的最小值；（2）若 E，O，D 三点共线，求实数 t 的值22. 已知函数 f（x ）=-x 3+9x2-26x+27（1）若 f（x）在 x=x1，x 2（x 1x2）处导数相等，证明：f（
8、x 1）+f（x 2）为定值，并求出该定值；（2）已知对于任意 k0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x ）有唯一公共点，求实数 a的取值范围第 5 页，共 19 页答案和解析1.【答案】D【解析】解：（ RA）（RB）=5，+）（-，3）， 故选：D根据补集和并集的定义进行求解即可本题主要考查集合的基本运算，结合补集并集的定义是解决本题的关键2.【答案】C【解析】解：由条件可知， = ，所以 = ，故 与 的夹角为 60故选：C 利用夹角公式进行计算本题考查了运用平面向量数量积运算求解向量夹角问题，属于基础题3.【答案】C【解析】解：由 S2=3，S4=15，可得 ，则 1+q2=5，即
9、 q2=4，即 q=2，则 =-1，S3= （1-q3）=-1-（2）3，即 S3 为 7 或-9，故选：C 根据等比数列的求和公式即可求出本题考查了等比数列的求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题4.【答案】C【解析】第 6 页，共 19 页解：根据题意，双曲线 9y2-4x2=1 的标准方程为 - =1，其焦点在 y 轴上，且 a= ，b= ，则其渐近线方程为 y= x；故选：C 根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，分析焦点位置以及 a、b 的值，由双曲线的渐近线方程分析可得答案本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线渐近线方程的计算，注意分析双曲线的焦点位置5.【答案】C【解析】解：根
10、据几何体的三视图知，该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体，画出直观图如图所示；则几何体的体积为V 几何体 =V 三棱柱 +V 三棱锥= 2+ 2= 故选：C 根据几何体的三视图知该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体，结合图中数据即可求出它的体积本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题目6.【答案】A【解析】解：由 zi5=（+3i）2，得 ， ，第 7 页，共 19 页则 在复平面内对应的点的坐标位于第一象限故选：A把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题7.【答案】B【解析】解：由 y=s
11、inxcosx+cos2x= sin2x+= + sin（2x+ ），由 f（x）+f（y）=1+ sin（2x+ ）+ sin（2y+ ）=0，取 x= ，可得 sin（2y+ ）=-1- -1，y 不存在，故 A 不为“H 函数” ；由 y=lnx+ex，且 f（x）+f（y）=lnx+ex+lny+ey=0，由于 y=lnx+ex 递增，且 x0，y- ；x+ ，y+，即有任一个 x（x0），可得唯一的 y，使得 f（x）=-f（y），故 B 为“H 函数”；由 y=2x 可得 2x0，2 x+2y=0 不成立，故 C 不为“H 函数”；由 y=x2-2x，若 f（x）+f（y）=x2-
12、2x+y2-2y=（x-1）2+（y-1）2-2=0，可取 x=3，可得 y 无解，故 D 不为“H 函数”故选：B 运用二倍角公式和辅助角公式化简函数 y，取 x= ，可判断 A；由函数的单调性和值域，可判断 B；由指数函数的值域即可判断 C；运用配方法，可取 x=3 可判断 D本题主要考查函数与方程之间的关系，将条件转化为 f（x）+f（y）=0 是解决本题的关键8.【答案】C【解析】第 8 页，共 19 页解：过 A 作 AMBC，M 为垂足，AB= ，ABC= ，AM=BM=1，M 为 BC 的中点，连结 BD，BC=CD=2，BCD= ，BCD 是边长为 2 的等边三角形，DMBC，
13、DM= ，AMD 为二面角 -BC- 的平面角，即 AMD= ，ADM 为 AD 与 所成的角，在AMD 中，由余弦定理可得 AD= =1，AD=AM，故ADM= AMD= 故选：C 过 A 作 AMBC，M 为垂足，可 证 M 为 BC 的中点， 则AMD 为二面角的平面角，在AMD 中求出ADM 即可本题考查空间中线面位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，是中档题9.【答案】B【解析】解：五人进行过关游戏，每人随机出现左路和右路两种选择若选择同一条路的人数超过 2 人，则他们每人得 1 分；若选择同一条路的人数小于 3 人，则他们每人得 0
14、 分，P（=1）= + + = ，P（=0）=1- = ，E=1 = 故选：B 推导出 P（=1）= + + = ，P（=0）=1- = ，由此能求出 E第 9 页，共 19 页本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题10.【答案】D【解析】解：如图所示，对于 A，AOC 为直角三角形，ON 为斜边AC 上的中线，ON= AC 为定长， 线段 NO 划过的曲面为圆锥侧面的一部分，面积为即 A 正确；对于 B，D 在 M 时，BC 取得最小 值 ，因此 |BC| ，正确对于 CAMO+MAO=90，正确；对于 D，D 在
15、 M 时，M 与 O 点重合，可得 AM底面 BCM，此时 OM=0D 不在 M 时，可得 OMOC+CM=1+ ，CO=1，|CO|1， ），即正确；由 A 可知，点 O 的轨迹是圆弧，即 D 正确；故选：D作出图形，判定 A，B，D 正确，即可得出结论如图所示，对于 A，AOC 为直角三角形，ON 为斜边 AC 上的中线，ON= AC 为定长，即 A 正确；对于 B，D 在 M 时，AO=1，CO=1，|CO|1 ， ，即正确；对于 D，由 A 可知，点 O 的轨迹是圆弧，即 D 正确；本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、平方关系，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题11.【答案】5
16、 2【解析】解：（x 2- ）n 的展开式的通项公式为 Tr+1= x2n-5r，令 2n-5r=0，可得 2n=5r，故 n 的最小值为 5，r=2，第 10 页，共 19 页此时常数项为 =2，故答案为：5；2在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 n 与 r 的关系，可得n 的最小值以及此时常数项本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题12.【答案】 （0， 23 14【解析】解：偶函数 f（x）满足 f（x-1）=f（x+1），f（x）=f（x+2），即函数 f（x）是周期为 2 的周期函数，则 f（ ）=f（ -2）=f（-
17、）=f（ ）= ，若-1x0，则 0-x1，则 f（-x）=-x=f（x），即 f（x）=x，-1x0，由 g（x）=f（x）-kx-k=0 得 f（x）=k（x+1），要使函数 g（x）=f（x）-kx-k 有 4 个零点等价为函数 f（x）与 g（x）=k（x+1）有四个不同的交点，作出两个函数的图象如图：g（x）过定点 A（-1，0），f（3）=1，则 k 满足 0g（3）1，即 04k1，得 0k ，即实数 k 的取值范围是（0， ，故答案为： ，（0， 根据函数奇偶性和条件，判断函数是周期为 2 的周期函数，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合进行求解
18、即第 11 页，共 19 页可本题主要考查函数与方程的应用，利用条件判断函数的奇偶性以及利用数形结合进行转化是解决本题的关键13.【答案】2 14【解析】解：实数 x、y 满足 xy0，且 log2x+log2y=1，则 xy=2，则 + 2 =2，当且仅当 = ，即 x=2，y=1 时取等号，故 + 的最小 值是 2，= = = = ，当且 仅当 x-y= ，即 x-y=2 时取等号故 的最大值为 ，故答案为：2， 先根据对数的运算性质可得 xy=2，再根据基本不等式即可求本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行变形与灵活配凑，是解本题的关键，属于中等题14.【答案】45 17【解析】解：
19、百位、十位、个位数字依次构成等差数列：公差 d=0 时，共有 9 个：111，999公差 d=1 时，共有 7 个：123， 789公差 d=2 时，共有 5 个：135， 579公差 d=3 时，共有 3 个：147，258， 369公差 d=4 时，共有 1 个：159同理可得：公差 d=-1 时，共有 8 个，987， ，321，210公差 d=-2 时，共有 6 个第 12 页，共 19 页公差 d=-3 时，共有 4 个公差 d=-4 时，共有 2 个综上共有 45 个百位、十位、个位数字依次构成等比数列：公比 q=1 时，共有 9 个：111，999公比 q=2 时，共有 2 个：
20、124，248公比 q= 时，共有 2 个：421， 842公比 q=3 时，共有 1 个：139公比 q= 时，共有 1 个：931公比 q= 时，共有 1 个：469公比 q= 时，共有 1 个：964综上共有：17 个故答案为：45，17利用等差数列与等比数列的定义，通过分类讨论即可得出本题考查了等差数列与等比数列的定义，通过分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15.【答案】-2【解析】解：以 C 点为原点，以 AC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，可得， ， ， = + = ，M ， ， ，=（ ， ）（ ， ）=-2故答案为：-2 先合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角
21、形，故设，这样利用向量关系式，求得 M ，然后求得第 13 页，共 19 页， ，运用数量 积公式解得为-2本试题考查了向量的坐标运算也体现了向量的代数化手段的重要性考查了基本知识的综合运用能力16.【答案】 23【解析】解：函数 y=sinx+ cosx=2sin（x+ ）是由 y=sinx- cosx=2sin（x- ）向左平移 个单位得到的，函数 y=sinx+ cosx=2sin（x+ ）是由 y=sinx- cosx=2sin（x- ）向左平移（0，2）个 单位得到的，= ，故答案为： 利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，求得 的值本题主要
22、考查辅助角公式，函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题17.【答案】23【解析】解：如图所示，设切点 P（x0，y0），（x0，y00）直线 AB 的方程为：y-y 0=k（x-x0）（k0）联立 ，化为：（b 2+a2k2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a2 -a2b2=0由直线 AB 与椭圆相切，可得： =4a4k2-4（b2+a2k2）a2 -a2b2=0化为： =b2+a2k2第 14 页，共 19 页2x0= ，化 为： = 由 + =1，可得： = = ，解得 x0= ，y0= 由直线 AB 的方程为：y-y 0=k（x-x0）（k0）可得 A ，B（0，y0-k
23、x0）SOAB= = = = a2b2当且仅当 b=-ak 时取等号设|PF 1|=m，|PF2|=n，m+n=2acosF1PF2= = = = ，化为：7mn=8b 2mn= = ，代入化为： = ，e= = = 故答案为： 如图所示，设切点 P（x0，y0），（x0，y00）直线 AB 的方程为：y-y 0=k（x-x0）（k0）与椭圆方程联立化为：（b 2+a2k2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a2 -a2b2=0由直线 AB 与椭圆相切，可得：=0化为： =b2+a2k2利用根与系数的关系可得： = 由 + =1，可得： = = ，解得 x0，y0由直线 AB 的方程为：y-y
24、 0=k（x-x0）（k0）可得A ，B（0，y0-kx0）SOAB= = = = a2b2当且仅当 b=-ak 时取等号 设|PF 1|=m，|PF2|=n，m+n=2a利用余弦定理进而得出第 15 页，共 19 页本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆的相切、三角形面积计算公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与 计算能力，属于难题18.【答案】解：（1）在ABC 中，cosA= ，A（0，），45所以 sinA= = 1235同理可得，sinACB= 1213所以 cosB=cos-（A+ACB）=-cos （A +ACB）=sinAsinACB-cosAcosACB= ；
25、35121345513=1665（2）在ABC 中，由正弦定理得，AB= sinACB= 13351213=20又 AD=3DB，所以 DB= 14=5在BCD 中，由余弦定理得， CD= 2+22= =9 52+132251316652【解析】（1）在ABC 中，求出 sinA= = ，sinACB= 可得 cosB=-cos（A+ACB）=sinAsinACB-cosAcosB；（2）在ABC 中，由正弦定理得，AB= sinACB在BCD 中，由余弦定理得，CD= 本题考查了正余弦定理、三角恒等变形，属于中档 题19.【答案】（1）证明：连接 ME，因为点 M，E 分别是 PA，PD 的
26、中点，所以ME= AD，MEAD，12所以 BCME，BC= ME，所以四边形 BCEM 为平行四边形，所以 CEBM又因为 BM平面 BMD，CE平面 BMD，所以 CE平面 BMD（6 分）第 16 页，共 19 页（2）如图，以 A 为坐标原点建立空间坐标系 O-xyz，则又 =（- ，-1，1）， =（- 12 1，0，1），设平面 CEQ 的法向量为 =（x，y ，z），列方程组 ， =0=0可得： 其中一个法向量为 =（2，1，2），12+=0+=0 设直线 PA 与平面 CEQ 所成角大小为 ，于是 sin= = ，|24+1+40+0+1| 23进而求得 cos= （15 分）
27、53【解析】（1）连接 ME，证明 MEAD，BCME，推出 CEBM然后证明 CE平面BMD （2）以 A 为坐标原点建立空间坐标系 O-xyz，求出平面 CEQ 的法向量，利用空间向量的数量积，求解直线 PA 与平面 CEQ 所成角的余弦函数 值即可本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查转化思想以及计算能力20.【答案】解：（1）证明：由题意得 an+1+an-1=2an+2，则（ an+1-an）-（a n-an-1）=2，所以a n+1-an是首项为 4，公差为 2 的等差数列；（2）n2，a n=（a n-an-1）+（a 2-a1）+a 1=4（n-1
28、）+ 2+2=n（n+1）(1)(2)2当 n=1，a 1=2 满足上式则 an=n（n+1）bn= - = -10(+1)(+1)121012第 17 页，共 19 页Sn=10（1+ + ）- ，12 1 2S2n=10（1+ + + + + ）- ，12 1 1+1 1+2 12 22设 Mn=S2n-Sn=10（ + + ）- ，1+1 1+2 12 2Mn+1=10（ + + + + ）- ，1+2 1+3 12 12+1 12+2 +12Mn+1-Mn=10（ + - ）-12+1 12+2 1+1 12=10（ - ）- = - ，12+1 12+2 12 10(2+1)(2+2
29、)12当 n=1 时，M n+1-Mn= - 0，即 M1M 2，当 n2 时，M n+1-Mn0，103412即 M2M 3M 4， （M n） max=M2=10（ + ）-1= ，1314 296则S 2n-Sn的最大值为 S4-S2= 296【解析】（1）由已知等式结合等差数列的定义可证； （2）由累加法求出 an，从而求出 bn，进一步求出 Sn，换元作差求出结果本题主要考查数列通项公式和前 n 项和的求解，利用累加法和作差法是解决本题的关键21.【答案】解：（1）由勾股定理、三角形面积可得：|MN|2=|OM|2+|ON|22|OM|ON|，|MN|=| OM|ON|，|MN|2S
30、OMN= |MN|1 =1，12 122即MON 的面积的最小值为 1（2）设 E（ cos，sin ），2则 AE 方程为：y = （x+ ），2+2 2则 M 为 ，同理 N 为 ，(，(+2)2(+1) (， (+2)2(1)OMON， =t2- =0，得 t= 2 (+2)22 2【解析】（1）由勾股定理、三角形面积可得：第 18 页，共 19 页|MN|2=|OM|2+|ON|22|OM|ON|，|MN|=|OM|ON|，|MN|2再利用 SOMN=|MN|1，即可得出（2）设 E（ cos，sin），可得 AE 方程为：y= （x+ ），可得 M 为，同理 N 为 ，根据 OMON
31、，利用数量积运算性质即可得出本题考查了椭圆的标准方程及其性质、椭圆的参数方程、向量垂直与数量积的关系、勾股定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题22.【答案】（1）证明：f（x ）=- x3+9x2-26x+27，f （x）=-3x 2+18x-26，由题意得，x 1+x2=6，则 f（x 1）+f（x 2）= 31+921261+2732+922262+27=(31+32)+9(21+22)26(1+2)+54=(1+2)(2112+22)+9(21+22)266+54= -1026(1+2)2312+9(1+2)2212=-6（36-3x 1x2）+9（36-2x
32、1x2）-102=-216+18x1x2+324-18x1x2-102=6；（2）解：f （x ）=-6x +18=-6（x -3），函数 f（x）在（0，3）的图象为下凸，在（ 3，+ ）的图象为上凸，记 P（3，f（3），求得 P 处 f（x）的切线为 y=x，再记 Q（0，a），由 f（x）=0，求得的极大值点为 M（ ），3+33， 3+239当 a 时，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）显然只有唯一公共点；3+239当 3a 时，直线 QM 斜率为正，且与曲线 y=f（ x）有三个公共点，舍去；3+239当 0a3 时，直线 QP 斜率为正，且与曲线 y=f（x）有三个公共点，
33、舍去；当 a0 时，若 k（0，k PQ），P 在直线上方，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）的上凸部分有唯一公共点，与下凸部分不相交；若 k=kPQ，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）交于 P 点，与上凸部分和下凸部分均不相交；若 k（k PQ，+），P 在直线下方，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x ）的下凸部分有唯一公共点，与上凸部分不相交，此种情况成立综上，a 的取值范围为（-，0 3+ ）239， +【解析】第 19 页，共 19 页（1）求出原函数的导函数，结合在 x=x1，x2（x1x2）处导数相等及根与系数的关系可得 x1+x2=6，从而求得 f（x1）+f（x2）为定值 6；（2）由 f（x）=-6（x-3），可知函数 f（x）在（0， 3）的图象为下凸，在（ 3，+）的图象为上凸，求得函数的极大值点为 M（ ），再由直线 y=kx+a 过点（0，a），然后对 a 分类讨论求使直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有唯一公共点的实数 a 的取值 范围本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查转化与化归思想方法，考查推理论证能力，是中档 题
