1、广西梧州、崇左两市 2015 届高三上学期摸底联考数学文试题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A=1，2，3，5，B=2，4，6，则（C uA）B=（ ）A 2 B 4，6 C l，3，5 D4，6，7，82已知复数 z 满足（1+i）z=2i，则 z=（ ）A -1i B 1i C 1i D 1i3设向量 ， 满足| + |= ，| |=1，| |=2，则 等于（ ）AB C D4已知双曲线 C： =1（a0，b0）的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为（ ）A
2、 y=2x B y= x C y= x D y= x5 “2a2 b”是 “log2alog 2b”的（ ）A充分不必要条件 B 必要不充分条件C充要条件 D 既不充分也不必要条件6执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为（ ）A 3 B 4 C 5 D 67若某物体的三视图如图所示，则该物体的体积是（ ）A 10+6 B 10+20 C 14+5 D 14+208某教育机构随机某校 20 个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为 5 将数据分组成0，5） ，5 ，10） ， 10，15） ，15，20） ，20 ，25） ，25，30） ，30，35） ，3
3、5 ，40 时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（ ）9设函数 f（x）=sin（2x+ ） ，则下列结论正确的是（ ）A f（x）的图象关于直线 x= 对称 B f（x）的图象关于点（ ，0）对称C f（x）的最小正周期为 D f（x）在0， 上为增函数10已知函数 f（x）=x 3+ax29x+1，下列结论中错误的是（ ）A x0R，f （x 0）=0B “a=3”是“ 3 为 f（x）的极大值点” 的充分不必要条件C 若 x0 是 f（x）的极小值点，则 f（x）在区间（x 0，+）单调递增D 若 3 是 f（x）的极值点，则 f（x）的单调递减区间是（1，3）11已知以
4、 F 为焦点的抛物线 y2=4x 上的两点 A、B 满足 =3 ，则弦 AB 的中点到准线的距离为（ ）AB C 2 D 112已知 x1，x 2 是函数 f（x ）=e x|lnx|的两个零点，则（ ）Ax 1x21 B 1x 1x2e C ex 1x22e D2ex 1x210二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13若曲线 y=ax+lnx 在点（ 1，a ）处的切线方程为 y=2x+b，则 b= _ 14设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a=1，b= ，cosC= ，则sinB= _ 15已知点 P（x，y）的坐标满足 ，则 z=x+2
5、y 的最大值为 _ 16若函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间0，+）上是单调增函数，如果实数t 满足 f（t）+f（t）2f（1） ，那么 t 的取值范围是 _ 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （12 分）设数列a n是公比为正数的等比数列， a1=2，a 3a2=12（1）求数列a n的通项公式；（2）设数列b n是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列 an+bn的前 n 项和 Sn18 （12 分）如图，四边形 ABCD 为矩形，四边形 ADEF 为梯形，FE AD， AFE=60，且平面 ABCD平面 ADE
6、F， AF=FE=AB=2，点 G 为 AC 的中点（）求证：EG 平面 ABF；（）求三棱锥 BAEG 的体积19 （12 分）某市随机抽取一年（365 天）内 100 天的空气质量指数 API 的监测数据，结果统计如下：API 0，50 （50 ，100 （100，150（150，200（200，250（250，300300空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染重度污染天数 4 13 18 30 9 11 15记某企业每天由于空气污染造成的经济损失为 S（单位：元） ，空气质量指数 API 为 ，在区间0，100对企业没有造成经济损失；在区间（100，300对企业造成经
7、济损失成直线模型（当 API 为 150 时造成的经济损失为 500 元，当 API 为 200 时，造成的经济损失为 700元） ；当 API 大于 300 时造成的经济损失为 2000 元（1）试写出 S（ ）表达式；（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失 S 大于 500 元且不超过 900 元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季，其中有 8 天为重度污染，完成下面 22列联表，并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？P（K 2kc）0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001Kc 1.323 2
8、.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828K2=非重度污染 重度污染 合计供暖季非供暖季合计 10020 （12 分）如图，已知椭圆 的右顶点为 A（2，0） ，点 P（2e，）在椭圆上（e 为椭圆的离心率） （1）求椭圆的方程；（2）若点 B，C（C 在第一象限）都在椭圆上，满足 ，且 ，求实数 的值21 （12 分）已知函数 f（x） =（2 a） （x1） 2lnx， （a 为常数，e 为自然对数的底，e2.71828） （1）当 a=1 时，求 f（x）的单调区间；（2）若 f（x）0 在区间（ 0， ）上恒成立，求 a 的最小值请考生在第（22
9、） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时标出所选题目的题号.【选修 4-1：几何证明选讲】22 （10 分）如图，已知 AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，C 为切点，连接 AC，过点 A 作 ADCD 于点 D，交 O 于点 E（）证明：AOC=2ACD；（）证明：ABCD=AC CE【选修 4-4：坐标系与参数方程 】23在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的圆心的极坐标为（ ， ） ，半径 r= ，点 P 的极坐标为（2， ） ，过 P 作直线 l交圆 C 于 A，B 两点（1）
10、求圆 C 的直角坐标方程；（2）求|PA|PB|的值【选修 4-5：不等式选讲】24已知函数 f（x）=|x4| t，t R，且关于 x 的不等式 f（x+2）2 的解集为1，5（1）求 t 值；（2）a，b，c 均为正实数，且 a+b+c=t，求证： + + 1参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-5BCDAB 6-10 BCACB 11-12 AA二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 1 1415 7 16 1t1 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出
11、文字说明，证明过程或演算步骤.17 解：（1）设数列a n的公比为 q，由 a1=2，a 3a2=12，得：2q 22q12=0，即 q2q6=0解得 q=3 或 q=2，q 0，q=2 不合题意，舍去，故 q=3an=23n1；（2）数列b n是首项 b1=1，公差 d=2 的等差数列，bn=2n1，Sn=（a 1+a2+an）+（b 1+b2+bn）= +=3n1+n218 （）证明：取 AB 的中点 M，连 FM，GM ，G 为对角线 AC 的中点，GMAD，且 GM= AD，EFAD，MGEF，且 EF=GM，四边形 GMFE 为平行四边形，EGFM，EG平面 ABF（）作 ENAD，
12、垂足为 N，由平面 ABCD面 AEFD，面 ABCD面 AEFD=AD，EN面 ABCD，即 EN 为三棱锥 EABG 的高，在 AEF 中，AF=FB，AFE=60，AEF 是正三角形，AEF=60，由 EFAD，知 EAD=60，EN=AEsin60= ，MG= AD=EF=2，SABG= 22=2，三棱锥 BAEG 的体积为： 2 = 19 解：（1）根据在区间0，100 对企业没有造成经济损失；在区间（100，300对企业造成经济损失成直线模型（当 API 为 150 时造成的经济损失为 500 元，当 API 为 200 时，造成的经济损失为 700 元） ；当 API 大于 30
13、0 时造成的经济损失为 2000 元，可得 S（）=；（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失 S 大于 500 元且不超过 900 元” 为事件 A；由 500S900，得 150250，频数为 39，P（ A）= ；（2）根据以上数据得到如表：非重度污染 重度污染 合计供暖季 22 8 30非供暖季 63 7 70合计 85 15 100K2 的观测值 K2= 4.5753.841所以有 95%的把握认为空气重度污染与供暖有关20 解：（1）椭圆 的右顶点为 A（2，0） ，a=2，点 P（2e， ）在椭圆上， ，a2=4， ，a 2=b2+c2，b2=1，c 2=3，椭圆的方程为 （
14、2）设直线 OC 的斜率为 k，则直线 OC 方程为 y=kx，代入椭圆方程 ，即 x2+4y2=4，得（1+4k 2）x 2=4， ，C（ ， ） ，又直线 AB 方程为 y=k（x2） ，代入椭圆方程 x2+4y2=4，得（1+4k 2）x 216k2x+16k24=0，xA=2， xB= ， =0， + =0， ， C 在第一象限，k0，k= ， =（ ） ，=（2 ，0 ）=（ ， ） ，由 = ，得 ，k= ， 21 解：（1）当 a=1 时，f（x）=x 12lnx，则 f（x）=1 ，由 f（x）0， x2；f （x） 0，得 0x2 故 f（x）的单调减区间为（0 ，2 ，单调
15、增区间为（2，+） ；（2）对任意的 x（0， ） ，f（x）0 恒成立，即对 x（0， ） ，a2 恒成立，令 g（x）=2 ，x（0， ） ，则 g（x）= ，再令 h（x）=21nx+ 2，x（0， ） ，则 h（x）= 0，故 h（x）在（0， ）上为减函数，于是 h（x）h（ ）=2 2ln20，从而，g（x）0，于是 g （x）在（0， ）上为增函数，所以 g（x）g（ ）=2 41n2，故要使 a2 恒成立，只需 a241n2a 的最小值为 24ln222 证明：（）连结 BC，CD 是O 的切线，C 为切点，ACD=ABC，OB=OC，OCB= ABC，又AOC=OCB+ OBC，AOC=2ACD（）AB 是 O 的直径，ACB=90，又 ADCD 于 D，ADC=90，CD 是O 的切线，C 为切点，OC 为半径，OAC=CAE，且 OCCD，OCAD，又 OC=OA，OAC=OCA=CAE=ECD，RtABCRtCED， ，ABCD=ACCE
