1、广东省湛江市第一中学 2015 届高三8 月月考数学理试卷（解析版）【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。一、 选择题（每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案按要求答在答题卡）【题文】1、设集合 6,43,21P， 62xRQ，那么下列结论正确的是（ ） A、 Q
2、B、 C、 P D、 QP【知识点】集合及其运算；A1【答案解析】 D 解析：解根据集合的定义可知 ，所以只有 D 选项正2,3456确.【思路点拨】根据已知条件求出交集，再利用集合的运算找到集合之间的关系.【题文】2、设集合 2|xM， |xP，那么“ PxM或 ”是“xP”的（ ）A、充分非必要条件 B、必要非充分条件C、 充分必要条件 D、既非充分条件也非必要条件【知识点】命题及其关系；A2【答案解析】 B 解析：解 Px或 表示实数集 R， ，所以|23Px只有 B 选项的说法是正确的.【思路点拨】根据条件求出所表达的集合，再根据命题的关系找到正确结果.【题文】3、命题“ ,xR 都有
3、 32”的否定是（ ）A、 0,x使得 320 B、 0,xR使得 320x C、 使得 x D、 使得 【知识点】命题的否定；A2 【答案解析】 C 解析：解带有全称量词的否定，要把全称量词改成特称量词，结论要变成否定形式，所以 C 选项正确.【思路点拨】根据命题之间的关系直接求出正确结果.【题文】4、设函数 ()yfx 是偶函数，且在 ,0上单调递增，则（ ）A、 (2)1f B、 2(1)f C、 (2)ff D、 (|)(fxf 【知识点】函数的奇偶性与单调性；B3，B4【答案解析】 A 解析：解因为函数为偶函数，所以 ，又因为在2ff上函数单调递增，所以可得 ，所以 A 正确.0,)
4、21fff【思路点拨】先利用函数的奇偶性把自变量化简到同一个区间，再根据函数的单调性进行求解.【题文】5、在同一坐标系内作出的两个函数图像图 1 所示，则这两个函数为（ ）A、 xya和 log()ax B、 xya 和 1log()ax C、 和 1 D、 和 y 【知识点】指数函数与对数函数的概念与图像；B6，B7【答案解析】D 解析：解由指数函数的概念与对数函数的概念可知两个函数的图像应该为xya和 log()ax所以 D 选项正确【思路点拨】根据指数函数的定义与对数函数的定义可以直接找到正确结果.【题文】6、若定义在 R 上的函数 ()fx满足 2log(1)0)()5xff，则(20
5、14)f( )A、2 B、1 C、0 D、 1 【知识点】函数的周期性；对数函数；B4，B7【答案解析】B 解析：解：由题可知当 x0 时函数为周期等于 5 的函数，所以， ，所以 B 选项正确. 014ff2log1f【思路点拨】根据函数的周期性把变量导入可计算值的区间，再根据解析式进行计算.【题文】7、若函数 3()fxab在 )0,(上有最小值 5， （ a， b为常数） ，则函数 )(xf在 ,0上（ ）A有最大值 5 B有最小值 5 C有最大值 3 D有最大值 9 【知识点】函数的奇偶性与最值；B3，B4【答案解析】D 解析：解：设 可知函数 为奇函数，由题意可知3gxabgx在 有
6、最大值 7， ，所以 在 有最大值 9，所以gx0,2f f0,D 正确.【思路点拨】把已知条件可转化成奇函数，然后根据函数的性质进行求解.【题文】8、已知函数 ()1|)fxax. 设关于 x 的不等式 ()(fxaf 的解集为 A, 若 1,2A, 则实数 a 的取值范围是A、 5,0 B、 13,02 C、 1130,5,22D、 52,1【知识点】特殊值法；分类讨论；M2【答案解析】A 解析：解：取 1122axx时 ， f,(1)x- m2m为假则有三种情况，1)当 p 假 q 真时， ，2)当 p 真 q 假时，pq12，3)当 p 假 q 也为假时， ，综上所述 m 的取值范围是
7、m2或 -1【思路点拨】根据条件求出 m 的取值范围，再根据命题的关系求出 m 的范围. 【题文】13、设 ()fx是定义在 R上且以 3 为周期的奇函数，若 (1)f，23()1af，则实数 的取值范围是 【知识点】函数的周期性与奇偶性；B4【答案解析】 解析：解解：f（x）是定义在 R 上且以 3 为周期的奇函23a或数f（x+3）=f（x），f（-x）=-f（x）f（2）=f（2-3）=f（-1）=-f（1）又 f（1）1，f（2）-1即 3213aa或故答案为： 或【思路点拨】根据函数的性质求出 的取值范围，然后求出 a 的值.f【题文】14、若对任意 ,xAyB， （ ,R）有唯一确
8、定的 (,)fxy与之对应，则称 (,)fy为关于 的二元函数。定义：满足下列性质的二元函数 (,)fxy为关于实数 ,xy的广义“ 距离”（1）非负性： (,)0fxy,当且仅当 时取等号 ; （2）对称性： (,)fxy;（3）三角形不等式： (,)(,)(,)fxyfzfy对任意的实数 z均成立给出三个二元函数 2(,)()fxyy; (,)fxyy; (,)fxy请选出所有能够成为关于 ,x的广义“距离”的序号_ 【知识点】新定义概念；不等式；函数.B1，E2【答案解析】 解析：解解：对于，不妨令 x-y=2，则有 此时12xy有（x-y） 2=4，而 故 f（x，y）f（x，z）+f
9、（z，y）不221xyy成立，所以不满足三角不等式，故不满足,对于，f（x，y）=|x-y|0 满足（1）；f（x，y）=|x-y|=f（y，x）=|y-x|满足（2）；f（x，y）=|x-y|=|（x-z）+（z-y）|=f（x，z）+f（z，y）满足（3），故能够成为关于的 x、y 的广义“距z离”的函数对于，由于 x-y0 时， 无意义，故不满足,fxy故答案为：【思路点拨】通过令特殊值的形式说明关系式是否成立，根据不等式的关系进行证明.三、解答题（本大题共 6 个小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【题文】15、 （本小题满分 12 分）已知：集合 2|30Ax
10、，1|28xB，2| 0Cm（ R） 。（1）求： AB； （2）若 ()C，求：实数 m的取值范围。【知识点】集合及其运算.A1【答案解析】 (1) (2) 1,48或解析：解：(1) 2 1|30,.|20,4AB=-14xAxB则 ，(2) 22| |Cmxxm当 m0 时， 1, 8242mmCABC由 得当 m=0 时， 不合题意.当 m0 时 ，综上所述，4,212mmCABC由 得48或【思路点拨】根据集合的关系进行运算，对于字母参数进行讨论.【题文】16、 （本小题满分 12 分）已知： )()(2Rmxf且 maf)(log2， 2)(log2af， 1，（1）求 ,a的值；
11、（2）求： )(log2f的最小值及对应的 x值；【知识点】复合函数；对数函数；B7，B3 【答案解析】 （1） ；（2） ,am2min7log4fx时 ，解析：解 22222log,logl,l1l0,a21(f aa或 即 或 舍 ）, ogafff(2) 22 2217llog4fxxfxx222 2min17 7loglog,l4 4f当 即 时 ，【思路点拨】根据函数的复合关系求出 a、m 的值，再由复合函数的单调性求出函数的最小值.【题文】17 （本小题满分 14 分） 已知：定义在 (1,)上的函数 ()fx满足：对任意,(1,)xy都有 ()xyff。（1）求证：函数 f是奇
12、函数；（2）如果当 (1,0)x时，有 ()0fx，求证： ()fx在 1,)上是单调递减函数。【知识点】函数的奇偶性；函数的单调性.B3,B4【答案解析】 （1）见解析（2）见解析解析：证明：令 ，令0,0,0xyfff则 f故，即函数 为奇 2,f1xyffffxf则 fx函数.(2)证明：设 12121212xfxffxffx则 12121212121212,0,00,0x，当121212112,xxx时，有 所以函数 在,0x 12120,0,ff fx即 f fx上是减函数.1,【思路点拨】分别利用函数的奇偶性与函数的单调性进行证明.【题文】18、 （本小题满分 14 分）已知函数
13、log()(0,1ayxa为 常 数 )（1）求函数 ()fx的定义域；（2）若 3a，试根据单调性定义确定函数 ()fx的单调性；（3）若函数 ()yfx是增函数，求 a的取值范围。【知识点】定义域；单调性.B1,B3【答案解析】(1) (2)略(3) 21,a1,解析：解：(1)由 22010,0xxxaaa得 又的定义域是fx21,a(2)若 则 ，3a3 12log,99fxxx设11212123x 2 120,309xxxx，所以函数为1123123loglogx增函数. 1212121212(), 0xaxaxxaxa 设 则,所以 是增函数，12xf12ff，联立可知12logl
14、ogaax,a【思路点拨】根据解析式成立的条件求出定义域；利用概念证明单调性；最后根据条件求出 a 的取值范围.【题文】19、 （本小题满分 14 分）某企业接到生产 3000 台某产品的 A，B，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为 2，2 ，1（单位：件） 已知每个工人每天可生产 A 部件 6 件，或 B 部件 3 件，或 C 部件 2 件该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产这三种部件，生产 B 部件的人数与生产 A 部件的人数成正比，比例系数为 k（ 为正整数） （）设生产 A 部件的人数为 x，分别写出完成 A，B，C 三种部件生产需要的时间；（）假设这三种
15、部件的生产同时开工，试确定正整数 k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案【知识点】函数的应用.B10【答案解析】 （）44，88，68. （）当 k=2 时完成订单任务的时间最短。解析：解(1)设完成 A，B，C 三种部件生产任务需要的时间分别为 由题123,Txx设有 其中1 232301050,62TxTxxkk都取 1 到 200 之间的正整数.,kk完成订单任务的时间为 ，其定义域为123ma,f T，易知， 为减函数， 为增函数，应注意到*20|x,1Nk12,x3x，于是(1)当 时， 此时2Tk12T由函数 的单调性知，1205max,max,3fT
16、x12,Tx当 时 取得最小值，解得 ，由 ，而10523xxf 409x4059，故当 时完成1 304,45,1fTTffx订单任务的时间最短，且最短时间为 25f（2）当 时， ，由于 k 为正整数，故 ，此时令k12x 3k易知 为增函数，12375,ma,0TxTxT由函数131 1075a, ,max,fx x单调性可知，当 时 取得最小值解得 ，由于1,Tx0375xx4，而 此时完成订单任务403671203752036,911T的最短时间大于 25(3)当时， 由于 k 为正整数，故 此时，12Txk，由函数 的单调性可知，232075ma,max,1f x23,Tx当 时， 取得最小值，解得 ，类(1)的讨论，此时完成订单任0751xf 80务的最短时间为 ，大于 ，综上所述，当 k=2 时完成订单任务的时间最短此时生0951产 A、B、C 三种部件的人数分别为 44，88，68.【思路点拨】根据条件列出关系式，对情况进行分析,最后求出结果
